Založ si blog

Trochu matematiky, dôležité číslo

 

Pokračujem vo vysvetľovaní stredoškolskej  matematiky cez príklady základnej školy. Predtým som niečo písal o mocninách. Zopakujem niektoré poznatky. Ak budeme rovnaké číslo umocňovať rôznymi mocninami tak výsledný súčet mocnín nám dáva dané číslo. S toho vychádza, že nultá mocnina je vždy 1 a mocnina 1 je základ čísla. Medzi nulou a jednotkou je nejaký zlomok. Odmocnina bude mať zlomkové číslo, resp desatinné číslo menšie ako 1. Delenie umocnených čísel rovnakého základu mocnín je ich odčítanie. Odčítanie môže byť i záporné ale vtedy je výsledok obrátená hodnota mocniny, a2/a4=a2-4=a-2=1/a².

Teraz sa zameriam na druhú vec ktorú sme preberali na základne v prvom stupni na matematike. Je to trojčlenka. Učili nás čo je nezávislá premenná čo je závislá premenná a koštanta. Taký jednoduchý príklad auto pôjde rovnomernou rýchlosťou 60 km/h. Koľko prejde za 2 hodiny. Je to jednoduché. Za závislú premennú si dáme km, za nezávislú premenu budú hodiny a za konštantu bude rovnomerná rýchlosť auta. Matematicky je to zapísané y=60*x. Môžeme hovoriť, že rýchlosť je funkcia dráhy na čase, pretože čas si môžeme meniť. Ale funkcia môže byť aj kde y=3*x2. Keby sme si zobrali niekoľko hodnôt a zakreslili do grafu kde hodnota x bude na vodorovnej osy a hodnota y bude kolmá na hodnotu x v bode 0 tak zistíme pri obyčajnom x že to bude priamka ale už keď tam bude mocnina tak priamka to už nebude. Za x ale môžeme dať pri danom základe y=ax. Táto funkcia na kladnej osy x bude prudko rásť na osy y od jednotky do nekonečna. Na zápornej osy x bude funkcia pomaly klesať z jednotky na nulu na ypsilonovej osy. Toto je najdôležitejšia funkcia v matematike, pretože od nej môžeme odvodiť hociktorý vzorec.

Pri skúmaní mocnín Škótsky matematik John Napier zistil, že keď budem rozdiel  mocnín deliť počtom rovnakých menších mocnín, tak získame graf určitých prírastkov mocnín ktorý bude podobný grafu funkcie y=ax. Skopíroval som tabuľku z excelu. Rozdelil som 4 na odmocniny medzi nultou a prvou mocninou. V prvom stĺpci sú mocniny resp. odmocniny. V druhom stĺpci je základ mocniny v treťom je odmocnina vo štvrtom je rozdiel mocnina – predchádzajúca mocnina, v piatom je rozdiel mocnín/počet rovnakých mocnín. Vychádza 4 na 0=1, 4 na 0,5=2. 2-1=1, 1/0,5=2. Pomer je 1. 0,5 je prvá mocnina rozdelená na dve časti, druhé odmocniny ½=0,5.

 

0 4 1
0,5 4 2 1 2 1
1 4 4 2 4 1

 

Ked rozdelíme mocninu od 0 až po jednu na 4 časti tak prírastky už budú väčšie ako 2. Odmocniny nasledujú, 0,25 je štvrtá odmocnina. 0,5 je druhá odmocnina. 0,75 je druhá odmocnina krát štvrtá odmocnina. Je to tiež odmocnina ale ťažko by som ju definoval. Matematicky vyjadrené je to 4 na 0,75.

 

0 4 1
0,25 4 1,414214 0,414214 1,656854 1,171573
0,5 4 2 0,585786 2,343146 1,171573
0,75 4 2,828427 0,828427 3,313708 1,171573
1 4 4 1,171573 4,686292 1,171573

 

Aby  prírastky boli menšie tak môžeme znížiť základ. Znížil som ho na tri.

Tabuľka bude vyzerať

 

0 3 1
0,25 3 1,316074 0,316074 1,264296 0,960657
0,5 3 1,732051 0,415977 1,663907 0,960657
0,75 3 2,279507 0,547456 2,189825 0,960657
1 3 3 0,720493 2,881972 0,960657

 

Prírastky už boli menšie ako mocniny. Skúsme teraz základ 3 rozložiť na 8 častí. Tabuľka je

 

0 3 1
0,125 3 1,147203 0,147203 1,177622 1,026516
0,25 3 1,316074 0,168871 1,350971 1,026516
0,375 3 1,509804 0,19373 1,549837 1,026516
0,5 3 1,732051 0,222247 1,777977 1,026516
0,625 3 1,987013 0,254963 2,0397 1,026516
0,75 3 2,279507 0,292494 2,33995 1,026516
0,875 3 2,615057 0,33555 2,684397 1,026516
1 3 3 0,384943 3,079547 1,026516

 

Už je prírastok väčší ako 1. Takto môžeme rozdeľovať mocninu do nekonečna a znižovať základ. Prírastok bude sa blížiť k mocnine. Pri určitom základe bude pomer základ/prírastok=1. Dostali by sme číslo približne 2,7182818284590452353602874 je to ale nekonečné číslo. Označuje sa písmenom e podľa švajčiarského matematika Leonharda Eulera. Volá sa eulerové číslo. Napier ho síce odvodil ale Euler aj podľa neho zdokonalil celú matematiku.

Keby sme nakreslili teoreticky graf s týchto prírastkov bol by rovnaký ako graf mocnín čísla e. Najjednoduchšie odvodenie tohto čísla je e=1 + 1/1 + 1/1*2 + 1/1*2*3 + 1/1*2*3*4 + 1/1*2*3*4*5 . . .. tak by sme pokračovali až do nekonečna. Prakticky počítame to číslo z dvoma desatinnými číslami 2,71 podobne ako pí 3,14. Pre technické účely nám to stačí.  Je to nekonečné desatinné číslo nedá sa vyjadriť zlomkom a nie je ani periodické. Pokračujem nabudúce.

Dúfam, že si môj apolitický článok niekto aj prečíta.

 

 

 

Planckove jednotky

13.11.2018

Prečo vlastne Planck vytvoril jednotky podľa konštánt. My sme stanovili základné jednotky meter a kilogram podľa určitých dohovorov. Meter je desať milióntina zemského kvadrantu. Kilogram je viac »

Planckove hodnoty

23.10.2018

Einstein zostavil rovnicu pre celkovú energiu telesa E=m·c2 a podľa Planckovej konštanty a frekvencie určil energiu fotónu Ef=h·f. Pokiaľ by sme miesto frekvencie fotónu udávali uhlovú rýchlosť viac »

Planckova konštanta

11.10.2018

Písal som minule, že planckova konštanta si zaslúži vlastný blog. Ako sa k nej dopracovalo. Pri skúmaní žiarenia celkom čierného telesa Anglický fyzici Raylegh a Jeans podľa úvahy, elektromagnetická viac »

Britain EU Brexit

analýza Najhorší scenár sú vzájomné clá na autá

15.11.2018 10:00

Na Britských ostrovoch aktuálne vrcholia rokovania o výhodách podpísania dohody o odchode z Európskej únie. Najväčšou hrozbou je, že Veľká Británia by opustila Európsku úniu bez dohody a na vzájomný obchod by sa uvalili vysoké clá.

Afganistan, výbuch, útok, dym

Útok Talibanu na západe Afganistanu pripravil o život 30 policajtov

15.11.2018 09:44

Militantom sa podarilo ukoristiť veľké množstvo zbraní a munície.

peniaze, euro

Slováci vyhľadávajú rizikové investície do firemných dlhopisov

15.11.2018 09:33

Nízke úrokové sadzby na klasických sporiacich produktoch vedú Slovákov k tomu, že čoraz viac vyhľadávajú rizikovejšie investície do firemných dlhopisov.

Marian Janušek

VIDEO: Začína sa súd s exministrom Janušekom z kauzy nástenkový tender

15.11.2018 09:30

Najvyšší súd má dnes rozhodnúť o odvolaní exministra výstavby Mariana Janušeka v kauze nástenkový tender.