Založ si blog

Trochu matematiky, dôležité číslo

 

Pokračujem vo vysvetľovaní stredoškolskej  matematiky cez príklady základnej školy. Predtým som niečo písal o mocninách. Zopakujem niektoré poznatky. Ak budeme rovnaké číslo umocňovať rôznymi mocninami tak výsledný súčet mocnín nám dáva dané číslo. S toho vychádza, že nultá mocnina je vždy 1 a mocnina 1 je základ čísla. Medzi nulou a jednotkou je nejaký zlomok. Odmocnina bude mať zlomkové číslo, resp desatinné číslo menšie ako 1. Delenie umocnených čísel rovnakého základu mocnín je ich odčítanie. Odčítanie môže byť i záporné ale vtedy je výsledok obrátená hodnota mocniny, a2/a4=a2-4=a-2=1/a².

Teraz sa zameriam na druhú vec ktorú sme preberali na základne v prvom stupni na matematike. Je to trojčlenka. Učili nás čo je nezávislá premenná čo je závislá premenná a koštanta. Taký jednoduchý príklad auto pôjde rovnomernou rýchlosťou 60 km/h. Koľko prejde za 2 hodiny. Je to jednoduché. Za závislú premennú si dáme km, za nezávislú premenu budú hodiny a za konštantu bude rovnomerná rýchlosť auta. Matematicky je to zapísané y=60*x. Môžeme hovoriť, že rýchlosť je funkcia dráhy na čase, pretože čas si môžeme meniť. Ale funkcia môže byť aj kde y=3*x2. Keby sme si zobrali niekoľko hodnôt a zakreslili do grafu kde hodnota x bude na vodorovnej osy a hodnota y bude kolmá na hodnotu x v bode 0 tak zistíme pri obyčajnom x že to bude priamka ale už keď tam bude mocnina tak priamka to už nebude. Za x ale môžeme dať pri danom základe y=ax. Táto funkcia na kladnej osy x bude prudko rásť na osy y od jednotky do nekonečna. Na zápornej osy x bude funkcia pomaly klesať z jednotky na nulu na ypsilonovej osy. Toto je najdôležitejšia funkcia v matematike, pretože od nej môžeme odvodiť hociktorý vzorec.

Pri skúmaní mocnín Škótsky matematik John Napier zistil, že keď budem rozdiel  mocnín deliť počtom rovnakých menších mocnín, tak získame graf určitých prírastkov mocnín ktorý bude podobný grafu funkcie y=ax. Skopíroval som tabuľku z excelu. Rozdelil som 4 na odmocniny medzi nultou a prvou mocninou. V prvom stĺpci sú mocniny resp. odmocniny. V druhom stĺpci je základ mocniny v treťom je odmocnina vo štvrtom je rozdiel mocnina – predchádzajúca mocnina, v piatom je rozdiel mocnín/počet rovnakých mocnín. Vychádza 4 na 0=1, 4 na 0,5=2. 2-1=1, 1/0,5=2. Pomer je 1. 0,5 je prvá mocnina rozdelená na dve časti, druhé odmocniny ½=0,5.

 

0 4 1
0,5 4 2 1 2 1
1 4 4 2 4 1

 

Ked rozdelíme mocninu od 0 až po jednu na 4 časti tak prírastky už budú väčšie ako 2. Odmocniny nasledujú, 0,25 je štvrtá odmocnina. 0,5 je druhá odmocnina. 0,75 je druhá odmocnina krát štvrtá odmocnina. Je to tiež odmocnina ale ťažko by som ju definoval. Matematicky vyjadrené je to 4 na 0,75.

 

0 4 1
0,25 4 1,414214 0,414214 1,656854 1,171573
0,5 4 2 0,585786 2,343146 1,171573
0,75 4 2,828427 0,828427 3,313708 1,171573
1 4 4 1,171573 4,686292 1,171573

 

Aby  prírastky boli menšie tak môžeme znížiť základ. Znížil som ho na tri.

Tabuľka bude vyzerať

 

0 3 1
0,25 3 1,316074 0,316074 1,264296 0,960657
0,5 3 1,732051 0,415977 1,663907 0,960657
0,75 3 2,279507 0,547456 2,189825 0,960657
1 3 3 0,720493 2,881972 0,960657

 

Prírastky už boli menšie ako mocniny. Skúsme teraz základ 3 rozložiť na 8 častí. Tabuľka je

 

0 3 1
0,125 3 1,147203 0,147203 1,177622 1,026516
0,25 3 1,316074 0,168871 1,350971 1,026516
0,375 3 1,509804 0,19373 1,549837 1,026516
0,5 3 1,732051 0,222247 1,777977 1,026516
0,625 3 1,987013 0,254963 2,0397 1,026516
0,75 3 2,279507 0,292494 2,33995 1,026516
0,875 3 2,615057 0,33555 2,684397 1,026516
1 3 3 0,384943 3,079547 1,026516

 

Už je prírastok väčší ako 1. Takto môžeme rozdeľovať mocninu do nekonečna a znižovať základ. Prírastok bude sa blížiť k mocnine. Pri určitom základe bude pomer základ/prírastok=1. Dostali by sme číslo približne 2,7182818284590452353602874 je to ale nekonečné číslo. Označuje sa písmenom e podľa švajčiarského matematika Leonharda Eulera. Volá sa eulerové číslo. Napier ho síce odvodil ale Euler aj podľa neho zdokonalil celú matematiku.

Keby sme nakreslili teoreticky graf s týchto prírastkov bol by rovnaký ako graf mocnín čísla e. Najjednoduchšie odvodenie tohto čísla je e=1 + 1/1 + 1/1*2 + 1/1*2*3 + 1/1*2*3*4 + 1/1*2*3*4*5 . . .. tak by sme pokračovali až do nekonečna. Prakticky počítame to číslo z dvoma desatinnými číslami 2,71 podobne ako pí 3,14. Pre technické účely nám to stačí.  Je to nekonečné desatinné číslo nedá sa vyjadriť zlomkom a nie je ani periodické. Pokračujem nabudúce.

Dúfam, že si môj apolitický článok niekto aj prečíta.

 

 

 

Opravená mechanika II.

12.02.2018

V predchadzajúcom blogu som písal, že do vzorca pre odvodenie kinetickej energie musíme vypočítať tento integrál Tento integrál sa musí riešiť tzv. substitúciou. Tzn. že musíme v člene viac »

Opravená mechanika

06.02.2018

Po definovaní hmotnosti v závislosti na rýchlosti znamená, že kinetická energia musí byť interpretovaná ináč pretože teleso pri zrýchľovaní menilo aj svoju hmotnosť. Sila preto musí byť viac »

Mal Newton vo všetkom pravdu?

31.01.2018

V predchádzajúcich blogoch som spomínal hybnosť p ktorá je síce nemerateľná ale definovaná výpočtom ale podľa kinetickej energie Ek sa dá vypočítať, pretože aj teleso pohybujúce sa zotrvačnosťou viac »

Luiz Inácio Lula da Silva

Brazílsky exprezident usvedčený z korupcie bude opäť kandidovať. Posledné slovo bude mať súd

22.02.2018 07:07

Bývalý brazílsky prezident Luiz Inácio Lula da Silva oznámil, že bude kandidovať na úrad hlavy štátu.

Sergej Lavrov, ruský minister zahraničia

Našim srbským priateľom pomôžeme, sľubuje Lavrov pred rozhovormi o Kosove

22.02.2018 06:20

Rusko je pripravené zapojiť sa ako sprostredkovateľ do rozšírených rozhovorov medzi Belehradom a Prištinou, ak si to Belehrad bude želať.

Grécko, pláž, Zakynthos

Grécky ostrov Zakynthos zasiahlo zemetrasenie

22.02.2018 06:12

Zemetrasenie s predbežnou magnitúdou 4,8 zasiahlo oblasť pri západogréckom ostrove Zakynthos.

depresia, únava, žena, smútok

Čakárne psychiatrov praskajú vo švíkoch

22.02.2018 06:00

Ministerstvo zdravotníctva zvažuje, že liečbu ľahších porúch presunie na iných lekárov.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 109
Celková čítanosť: 188977x
Priemerná čítanosť článkov: 1734x

Autor blogu

Kategórie