Založ si blog

Dôležité číslo pokračovanie

Pokračujem v mojich apolitických blogoch. Bol som prekvapený, že na takú nezaujímavú a otravnú tému, matematika bola aj diskusia.

Napier zistil určité číslo. Ale až Euler o 100 rokov neskôr ho zakomponoval do matematiky. Vrátim sa ešte k Napierovi. V dobe Napiera sa rozvíjala astronómia, (Kepler. Bola potreba zložité čísla násobiť a deliť. Keďže násobenie čísla a delenie pri rovnakom základe mocnín sa robí obyčajným sčítaním, napadlo Napiera urobiť obrátenú funkciu k funkcii y=ax kde by som poznal y a základ a si určil každému číslu mocninu kde základ a by bol zvolený podľa dohodnutého čísla. Znamená to, že ku každému číslu sa dá priradiť mocnina keď máme rovnaký základ. Potom môžeme jednoducho exponenty sčítať alebo odčítať podľa toho či budeme násobiť alebo deliť. A podľa výsledného exponentu si ho nájdeme v nejakých tabuľkách. Nazval exponenty logaritmus zo slov logos ritmus, opakovanie čísla podľa určitého postupu. Najprv zvolili za základ číslo 10 pretože jeho násobky sa jednoducho sčítali a pripisovala sa iba 0. Napr. zvolím si základ 10 mocnina bude 1. Keby som násobil 10*10=100, mohol by som to podľa mocnín napísať 101+1=102. Takto môžeme každému číslu dať nejaký exponent pri rovnakom základe. Majme napr. exponent pri 0,5 pri základe 10. Je to druhá odmocnina z 10 čo je približne 3,162278.. Pokiaľ budeme mať mocninu 1,5 tak si vynásobíme 101*100,5 bude to 31,62278. Keď si vydelíme 10/100 dostaneme 0,1. Keby sme si to chceli napísať cez mocniny so základom 10 dostávame 101/102=102-110-1=0,1. Toto je princíp logaritmického počtu kde sme zvolili základ 10. Jeho zápis je log10=1.

Urobili si dostatočne presný graf po určitý logaritmus. Na xovú os nanášali čísla a na ypsilonovej osy odčítavali logaritmy. Ten graf si postupne zväčšovali a tak mohli v pohode čísla odčítavať.. Podľa toho logaritmus pri základe 10 sú čísla log10=1, log1=0. Nultá mocnina je vždy 1 preto log 1=0. Odmocnina z 10 je aj hocijaké číslo od 1do 10. Napr. 9 je 100,954243. Potom log9=0,954243 . Ako som písal odmocnina je vlastne mocnina kde exponent je menší ako 1. To číslo 0,954243 je dekadický logaritmus čísla 9. Logaritmus so záporným číslom je číslo menšie ako 1. Pokiaľ máme desatinnú čiarku za celým desatinným číslom tak je to násobok odmocniny a exponentu s celým číslom, napr. 90=10*9 =101*100,954243=101+0,954243=101,954243. Sčítali sme logaritmy,

resp. exponenty 1+0,954243=1,954243 odčítame s tabuliek a máme výsledok násobenia.Graf funkcie y=logx je zrkadlový obraz funkcie y=ax. Pri logaritme kde je základ 10 je jedna nevýhoda, že pre presnejšie výpočty potrebujeme viac desatinných

miest pretože rozostup čísel voči exponentom, resp. logaritmom je veľký. Napr. log10=1, log90=1,954243, log0,1=-1 log0,9=-0,04576. Nevýhoda bola v tom, že 10 je dosť vysoký základ. Ale ako zvoliť základ aby nebol iba taký náhodný a menší ako 10. Napiera napadlo zvoliť tam číslo e. Vtedy ešte nebolo značené e. Nebolo náhodné pretože základy funkcie y=ax kde a je väčšie ako e mali prírastky funkcii väčšie a menšie základy ako e prírastky menšie. Je  logické, že prírastky funkcii y=ex  sa rovnali 1.

Čislo e je oveľa menšie ako 10. Logaritmus s týmto základom nazval logaritmus naturalis, prirodzený logaritmus a podľa toho má značku ln. Aj keď je číslo e nekonečné, za desatinnou čiarkou, neperiodické a nedá sa vyjadriť zlomkom je to tzv. iracionálne číslo, tak výpočty budú presnejšie lebo budeme potrebovať menej desatinných miest, základ funkcie y=lnx je oveľa menší ako 10 . Napier ani nevedel ako to dobre urobil. Aj Newton vedel o tom čísle. Pravdepodobne tiež používal prirodzený logaritmus. Napier to číslo odvodil iba postupne ako ja na tých tabuľkách, neboli známe matematické postupy ktoré vytvoril Newton. Po 100 rokoch švajčiarsky matematik Leonhard Euler odvodil jeho vzorec. Euler bol aj bankár a pravdepodobne chcel veľmi zbohatnúť na úrokoch. Urobil skúšobný vzorec s jednou neviem akú menu používal nazvem švédskou korunou na maximálny 100% úrok. Vložím jednu korunu do banky na jeden rok na 100%. Na konci roka dostanem korunu plus vložený úrok. Budem mať 2 koruny. Ale čo keby sme vložili korunu na pol roka a hneď by sme ju vložili na druhý polrok koľko dostanem peňazí. Za polrok dostanem 1+0,5=1,5 korún. 1,5 koruny vložím na druhý polrok na 50% úrok. Dostanem 1,5+0,75=2,25. Za rok budem mať z jednej korune pri 50% úroku na pol roka už 2,25 korún. Skúsim to urobiť tak že si úrok rozdelím na kvartál na 25%. Keď to sčítam tak dostanem 1+0,25=1,25 za prvý kvartál, úrok som mal 0,25. Za druhý vkladám 1,25 a úrok budem mať 0,3125 výsledná suma bude 1,5625. Znovu vložím 1,5625 úrok bude 0,390625 výsledná suma za tretí kvartál je 1,953125. A nakoniec vo štvrtom kvartáli vkladám 1,953125 úrok mám 0,488281 a výsledná suma za 1 rok bude 2,441406 korún. Tak sa mi oplatí vkladať a vyberať čo najčastejšie. Aby som lepšie počítal a nemusel sa takto trápiť s počítaním tak si urobím vzorec pre jednu korunu a úrok 100%. Nebudem ho odvodzovať ale je jednoduchý e=(1+1/n)n. e je moja výsledná  n je počet rovnakých časti v roku, napr. pol rok, štvrť rok. Ale koľko by som teoreticky dostal v banke ktorá má 100% ročný úrok na vklady keď budem vkladať každý deň. Keď to vložím do vzorca (1+1/365)365 celková suma bude 2,714567 koľko potom vlastne bude keď by som tam vkladal každú sekundu. Bude to 2,718281781 rozdiel je iba v tisícinách. Toto číslo sa už udáva v tabuľkách. Ale Euler bol aj matematik uvedomil si že keď n by teoreticky mohlo byť nekonečno tak dostal by nakoniec iba 1 korunu. Výsledok by bol 1 pretože 1/nekonečno je 0 a 1 na nekonečno je 1. Potom vzorec musí byť iný. Newton odvodil derivácie a tam potreboval deliť aj nulou ale vymyslel taký matematický fígel, že číslo nie je ešte 0 ale je to prvé číslo od nuly. Pomenoval ten matematický ťah limita. Číta sa to, funkcia x je taká funkcia kde  x nemôže nemôže byť väčšie ako číslo c. x  je číslo v rovnici ktoré môžeme meniť ale nikdy nesmie prekročiť číslo c.

mathtex-3 Na výpočty limít sú určité postupy. V našom prípade bude e= L,c bude nekonečno ∞ a  x bude n.

Funkcia f(x)j bude e=(1+1/n)n. Keď to vložíme do výrazu pre limitu dostaneme

mathtex-1to je konečný vzorec pre eulerové číslo e.

Čítame e je limita funkcie (1+1/n)n kde n sa blíži k nekonečnu.. S toho vzorca sa odvodil vzorec pre výpočet eulerovho čísla e=1+(1/1)+(1/1*2)+(1/1*2*3)+(1/1*2*3*4)+(1/1*2*3*4*5 ). . ..až do nekonečna.  Na čo je nám vlastne číslo e napíšem nabudúce.

 

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Svetlo a konštanta

13.06.2018

Popis spektra žiarenia sa cez Raylegh - Jeansovho vyžarovacieho zákona a Wienovho vyžarovacieho zákona sa dostal do slepej uličky, pretože jeden popisoval spektrum žiarenia presne pri nízkych viac »

Teplo a svetlo III

06.06.2018

Pokračujem v doplnení článku o teple a svetle. Trochu tie jednotlivé blogy píšem od konca. Musím presnejšie vysvetliť ako sme sa vlastne dostali ku vzťahom pre žiarenie. Prví sa o popis svetelného viac »

Teplo a svetlo II

23.05.2018

Trochu by som chcel nadviazať na predchadzajúci článok. Boli tam Plancková konštanta a Wienová konštanta. Pri ich matematickom odvodení sa využila tzv. Bolztmanová konštanta. Trochu ju rozvediem viac »

Nový Zéland, Auckland

Cudzinci na Novom Zélande budú mať sťažený prístup ku kúpe nehnuteľností

19.08.2018 12:59

Cieľom tohto kroku je zlepšiť prístup domáceho obyvateľstva k bývaniu.

diaľnica, most, považská bystrica

NDS spravuje 759 mostov, v havarijnom stave nie je ani jeden

19.08.2018 12:00

Národná diaľničná spoločnosť plánuje v tomto roku vynaložiť na údržbu a opravy mostov vo svojej správe 6,5 milióna eur.

ampulky, očkovanie, lieky, injekcia

V únii budú lekári očkovať rovnako

19.08.2018 12:00

Minulý rok sa osýpkami v Európskej únii nakazilo viac ako 14-tisíc ľudí. To je trikrát viac, ako v roku 2016.

drogy,

VIDEO: Policajti zadržali v Bratislave drogového delikventa

19.08.2018 11:53, aktualizované: 12:24

Bratislavskí policajti zadržali muža, pri ktorom mali dôvodné podozrenie z páchania drogovej trestnej činnosti.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 116
Celková čítanosť: 208728x
Priemerná čítanosť článkov: 1799x

Autor blogu

Kategórie