Založ si blog

Ako deliť nulou

Na odreagovanie od dnešnej spolitizovanej doby píšem ďalší menej zaujímavý apolitický blog. Minule som písal o dôležitom čísle v matematike, tzv. Eulerovo číslo e. Je označené aj ako základ prirodzených logaritmov ln. Čo to je som vysvetľoval minule ale načo ho máme začnem vysvetľovať teraz aj keď ho nespomeniem.

Nadpis článku je ako deliť nulou. V praxi by sme aj potrebovali vydeliť niečo nulou. Taký príklad je keby sme potrebovali vypočítať okamžitú rýchlosť. Vzťah medzi vzdialenosťou a časom nám udáva priemernú rýchlosť. Pri rovnomernej rýchlosti počítame zmenu dráhy/zmena času. Zmenu času môžeme zmenšovať teoreticky až do nuly ale to by už nesedelo pretože by vyšlo nekonečno. Vzorec pre rovnomernú rýchlosť je v= Δs/Δt. Keď bude rýchlosť narastať na určitú hodnotu hovoríme o zrýchlení. Pri rovnomernom zrýchlení sa rýchlosť mení plynule. Pre zrýchlenie platí je vzorec a=Δv/Δt. rozpísaním dostaneme a=s/t2. Pri rovnomernom zrýchlenie celková dráha za čas bude polovičná, pretože ju musíme vypočítať s priemernej rýchlosti. vp=v-v0/2 v je okamžitá rýchlosť v0 je začiatočná rýchlosť môže byť aj nula. Vzorec pre dráhu potom je s=1/2a*t2.Vynásobením rovnice 2 a vydelením t dostávame vzorec pre okamžitú rýchlosť pri rovnomernom zrýchlení 2*s/t=a*t=v. Ale čo keby rýchlosť nestúpala rovnomerne ale podľa nejakého vzťahu. Napr. za 1s 10m, za 2s 40m za 3s 90m. Je to vzťah s=k*tn. Konštanta je 10 uvažujeme dráhu za 1s a n je 2. Znamená to, že zrýchlenie na dráhe sa bude meniť ale rýchlosť vždy bude mať vzťah  v= Δs/Δt. Potrebujeme poznať Δt  najmenšiu možnú aby nám vyšiel presný výsledok. Popíšem to podľa grafu dole. Na osy x máme čas, na osy y je vzdialenosť. f(x) znamená, že hodnota na osy y je závislá podľa nejakého vzťahu na osy x. My máme vzťah závislosti dráhy na čase s=k*tn. Okamžitú rýchlosť chceme vypočítať pri čase na grafe x0 aby nás to nemýlilo uvažujeme ten čas  t1. Čas t bude  odpovedať  bodu x. rozdiel časov t-t1=Δt  bude zodpovedať rozdielom na grafe x-x0=Δx.  Pre funkciu f(x0) znamená, že je to hodnota kde chceme vypočítať danú hodnotu, rýchlosť. Čo je funkcia som písal minule. Funkciu  f(x0+Δx) označíme ako f(x). Číselné hodnoty daných funkcii sú na osy y. Rozdiel tých funkcii je označená funkcia Δf . V našom prípade závislosť vzdialenosti na čase bude krivka, pretože zrýchlenie nie je rovnomerné. Tento graf odpovedá tomu nárastu vzdialenosti na čase s=k*tn. Nevšímajte si toho, že v bode x0  nie je na ypsilonovej osy v nule, ani to, že krivka ide do mínusovej strany na osy x. Pretože je to podobná funkcia y=k*xn+c. Konštanta c iba dvíha krivku a x na tejto funkcii môže byť aj záporné. Nás bude zaujímať iba krivosť krivky v plusových osiach. Nenašiel som zodpovedajúci graf. Priamky medzi bodomi A a B sú sečnice. Tým, že budeme približovať bod x ku bodu x0 bude sa bod B na krivke posúvať bližšie k bodu A. Keď priblížime bod x k bodu x0 tak aj body A a B splynú. Priamka už nebude sečnica ale dotyčnica. V bode x0 bude čas t1, a body x0 a x sa budú rovnať, tzn. že časy t1t sa budú rovnať. Vidíme, že pomer  Δf/Δx nám udáva tangens uhlu α. Aj dotyčnica má určitý uhol. My vlastne musíme vypočítať tangens tzn. smernicu priamky v danom bode.

obr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aby sme nemuseli deliť nulou musíme si vzorec trochu ošáliť. Minule som spomenul limitu. Pre predstavu, limita je vlastne zápis kde bude sa jedná hodnota približovať danej hodnote ale nikdy ju nedosiahne, bude iba prvé číslo od danej hodnoty. Potom to už nebude nula. Ale súčet je taký maly, že to prvé číslo od nuly môžeme zanedbať. Zápis limity pre náš prípad vyzerá takto.mathtex-3 Je to limita kde x-x0 sa bíži k nule pre funkciu y=x2-x02/x-x0. Aby sme to mohli vypočítať potrebujeme si rozložiť vzorec v čitateli podľa vzoru a2-b2=(a-b)*(a+b) na x2-x02=(x-x0)*(x+x0) . Dostaneme potom rovnicu y=((x-x0)*(x+x0))/(x-x0). (x-x0) si môžeme vykrátiť a keď budeme uvažovať, že x sa bude rovnať x0 dostaneme po úprave y=2*x. S toho nám vychádza predpis pre mocninovú funkciu  y=k*xn bude jej derivácia y´=n*kxn-1. Konštantu nederivujeme, exponent ako číslo vynásobíme a na exponente x odrátame 1. Takto jednoducho sme ošálili rozdiel y´=Δy/Δx kde zmeny sú nulové. Potrebujeme vypočítať podľa nejakej funkcie smernicu dotyčnice na danej funkcie f(x). Toto sa nazýva derivácia funkcie. Keby sme si dosadili za y v a za x t tak okamžitá rýchlosť pri náraste vzdialenosti  s=k*tn kde n by bolo 2 a konštanta k 10 dostali by sme vzťah v=2*10*t. Za t si môžeme dosadiť hocijaký čas. Overiť si to môžeme na vzorci pre výpočet okamžitej rýchlosti pri rovnomernom zrýchlení kde máme zadané zrýchlenie dráhu a čas. Vzorec pre dráhu je s=1/2*a*t2. Vzorec pre rýchlosť z daného zrýchlenia a času je v=a*t. Znamená to, že keď rovnicu vynásobím dvoma a vydelím t dostanem vzorec pre okamžitú rýchlosť 2*s/t=a*t. To isté by sme dostali keby sme za konštantu dosadili k=1/2*a. Zrýchlenie sa nebude meniť po celej dráhe. Potom derivácia v=2*1/2*a*t2-1. Po úprave dostaneme rovnaký vzorec v=a*t.

Aby som lepšie vysvetlil načo nám je Eulerovo číslo musím začať od derivácie. Dokončím to nabudúce.

 

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Svetlo a konštanta

13.06.2018

Popis spektra žiarenia sa cez Raylegh - Jeansovho vyžarovacieho zákona a Wienovho vyžarovacieho zákona sa dostal do slepej uličky, pretože jeden popisoval spektrum žiarenia presne pri nízkych viac »

Teplo a svetlo III

06.06.2018

Pokračujem v doplnení článku o teple a svetle. Trochu tie jednotlivé blogy píšem od konca. Musím presnejšie vysvetliť ako sme sa vlastne dostali ku vzťahom pre žiarenie. Prví sa o popis svetelného viac »

Teplo a svetlo II

23.05.2018

Trochu by som chcel nadviazať na predchadzajúci článok. Boli tam Plancková konštanta a Wienová konštanta. Pri ich matematickom odvodení sa využila tzv. Bolztmanová konštanta. Trochu ju rozvediem viac »

Lifeline

Taliani aj Malta odmietli prijať ďalšiu loď s migrantmi. Neľudské, znie z Ríma

22.06.2018 21:27

Taliansky minister dopravy Danilo Toninelli oznámil, že Malta odmietla prijať záchrannú loď Lifeline s 224 migrantmi na palube.

Izrael Palestínčania Gaza protesty zranení

V pásme Gazy sa opäť protestovalo, najmenej 20 Palestínčanov sa zranilo

22.06.2018 21:06

Najmenej 20 Palestínčanov utrpelo zranenia počas ďalšieho zo série protestov na hraniciach medzi pásmom Gazy a Izraelom.

Bašár Asad

Rokovať s USA? Strata času, verí Asad

22.06.2018 20:08

Sýrsky prezident Baššár al-Asad si myslí, že je nezmyselné rokovať so Spojenými štátmi americkými.

Ukrajina

Z jednej zo stredoeurópskych krajín prepašovali na Ukrajinu rádium 226, tvrdí SBU

22.06.2018 19:31

Útvar kontrarozviedky Ukrajinskej bezpečnostnej služby v rámci viacstupňovej špeciálnej operácie zabránil predaju jadrového materiálu v krajine.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 116
Celková čítanosť: 204172x
Priemerná čítanosť článkov: 1760x

Autor blogu

Kategórie