Založ si blog

Ako deliť nulou

Na odreagovanie od dnešnej spolitizovanej doby píšem ďalší menej zaujímavý apolitický blog. Minule som písal o dôležitom čísle v matematike, tzv. Eulerovo číslo e. Je označené aj ako základ prirodzených logaritmov ln. Čo to je som vysvetľoval minule ale načo ho máme začnem vysvetľovať teraz aj keď ho nespomeniem.

Nadpis článku je ako deliť nulou. V praxi by sme aj potrebovali vydeliť niečo nulou. Taký príklad je keby sme potrebovali vypočítať okamžitú rýchlosť. Vzťah medzi vzdialenosťou a časom nám udáva priemernú rýchlosť. Pri rovnomernej rýchlosti počítame zmenu dráhy/zmena času. Zmenu času môžeme zmenšovať teoreticky až do nuly ale to by už nesedelo pretože by vyšlo nekonečno. Vzorec pre rovnomernú rýchlosť je v= Δs/Δt. Keď bude rýchlosť narastať na určitú hodnotu hovoríme o zrýchlení. Pri rovnomernom zrýchlení sa rýchlosť mení plynule. Pre zrýchlenie platí je vzorec a=Δv/Δt. rozpísaním dostaneme a=s/t2. Pri rovnomernom zrýchlenie celková dráha za čas bude polovičná, pretože ju musíme vypočítať s priemernej rýchlosti. vp=v-v0/2 v je okamžitá rýchlosť v0 je začiatočná rýchlosť môže byť aj nula. Vzorec pre dráhu potom je s=1/2a*t2.Vynásobením rovnice 2 a vydelením t dostávame vzorec pre okamžitú rýchlosť pri rovnomernom zrýchlení 2*s/t=a*t=v. Ale čo keby rýchlosť nestúpala rovnomerne ale podľa nejakého vzťahu. Napr. za 1s 10m, za 2s 40m za 3s 90m. Je to vzťah s=k*tn. Konštanta je 10 uvažujeme dráhu za 1s a n je 2. Znamená to, že zrýchlenie na dráhe sa bude meniť ale rýchlosť vždy bude mať vzťah  v= Δs/Δt. Potrebujeme poznať Δt  najmenšiu možnú aby nám vyšiel presný výsledok. Popíšem to podľa grafu dole. Na osy x máme čas, na osy y je vzdialenosť. f(x) znamená, že hodnota na osy y je závislá podľa nejakého vzťahu na osy x. My máme vzťah závislosti dráhy na čase s=k*tn. Okamžitú rýchlosť chceme vypočítať pri čase na grafe x0 aby nás to nemýlilo uvažujeme ten čas  t1. Čas t bude  odpovedať  bodu x. rozdiel časov t-t1=Δt  bude zodpovedať rozdielom na grafe x-x0=Δx.  Pre funkciu f(x0) znamená, že je to hodnota kde chceme vypočítať danú hodnotu, rýchlosť. Čo je funkcia som písal minule. Funkciu  f(x0+Δx) označíme ako f(x). Číselné hodnoty daných funkcii sú na osy y. Rozdiel tých funkcii je označená funkcia Δf . V našom prípade závislosť vzdialenosti na čase bude krivka, pretože zrýchlenie nie je rovnomerné. Tento graf odpovedá tomu nárastu vzdialenosti na čase s=k*tn. Nevšímajte si toho, že v bode x0  nie je na ypsilonovej osy v nule, ani to, že krivka ide do mínusovej strany na osy x. Pretože je to podobná funkcia y=k*xn+c. Konštanta c iba dvíha krivku a x na tejto funkcii môže byť aj záporné. Nás bude zaujímať iba krivosť krivky v plusových osiach. Nenašiel som zodpovedajúci graf. Priamky medzi bodomi A a B sú sečnice. Tým, že budeme približovať bod x ku bodu x0 bude sa bod B na krivke posúvať bližšie k bodu A. Keď priblížime bod x k bodu x0 tak aj body A a B splynú. Priamka už nebude sečnica ale dotyčnica. V bode x0 bude čas t1, a body x0 a x sa budú rovnať, tzn. že časy t1t sa budú rovnať. Vidíme, že pomer  Δf/Δx nám udáva tangens uhlu α. Aj dotyčnica má určitý uhol. My vlastne musíme vypočítať tangens tzn. smernicu priamky v danom bode.

obr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aby sme nemuseli deliť nulou musíme si vzorec trochu ošáliť. Minule som spomenul limitu. Pre predstavu, limita je vlastne zápis kde bude sa jedná hodnota približovať danej hodnote ale nikdy ju nedosiahne, bude iba prvé číslo od danej hodnoty. Potom to už nebude nula. Ale súčet je taký maly, že to prvé číslo od nuly môžeme zanedbať. Zápis limity pre náš prípad vyzerá takto.mathtex-3 Je to limita kde x-x0 sa bíži k nule pre funkciu y=x2-x02/x-x0. Aby sme to mohli vypočítať potrebujeme si rozložiť vzorec v čitateli podľa vzoru a2-b2=(a-b)*(a+b) na x2-x02=(x-x0)*(x+x0) . Dostaneme potom rovnicu y=((x-x0)*(x+x0))/(x-x0). (x-x0) si môžeme vykrátiť a keď budeme uvažovať, že x sa bude rovnať x0 dostaneme po úprave y=2*x. S toho nám vychádza predpis pre mocninovú funkciu  y=k*xn bude jej derivácia y´=n*kxn-1. Konštantu nederivujeme, exponent ako číslo vynásobíme a na exponente x odrátame 1. Takto jednoducho sme ošálili rozdiel y´=Δy/Δx kde zmeny sú nulové. Potrebujeme vypočítať podľa nejakej funkcie smernicu dotyčnice na danej funkcie f(x). Toto sa nazýva derivácia funkcie. Keby sme si dosadili za y v a za x t tak okamžitá rýchlosť pri náraste vzdialenosti  s=k*tn kde n by bolo 2 a konštanta k 10 dostali by sme vzťah v=2*10*t. Za t si môžeme dosadiť hocijaký čas. Overiť si to môžeme na vzorci pre výpočet okamžitej rýchlosti pri rovnomernom zrýchlení kde máme zadané zrýchlenie dráhu a čas. Vzorec pre dráhu je s=1/2*a*t2. Vzorec pre rýchlosť z daného zrýchlenia a času je v=a*t. Znamená to, že keď rovnicu vynásobím dvoma a vydelím t dostanem vzorec pre okamžitú rýchlosť 2*s/t=a*t. To isté by sme dostali keby sme za konštantu dosadili k=1/2*a. Zrýchlenie sa nebude meniť po celej dráhe. Potom derivácia v=2*1/2*a*t2-1. Po úprave dostaneme rovnaký vzorec v=a*t.

Aby som lepšie vysvetlil načo nám je Eulerovo číslo musím začať od derivácie. Dokončím to nabudúce.

 

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Planckove jednotky

13.11.2018

Prečo vlastne Planck vytvoril jednotky podľa konštánt. My sme stanovili základné jednotky meter a kilogram podľa určitých dohovorov. Meter je desať milióntina zemského kvadrantu. Kilogram je viac »

Planckove hodnoty

23.10.2018

Einstein zostavil rovnicu pre celkovú energiu telesa E=m·c2 a podľa Planckovej konštanty a frekvencie určil energiu fotónu Ef=h·f. Pokiaľ by sme miesto frekvencie fotónu udávali uhlovú rýchlosť viac »

Planckova konštanta

11.10.2018

Písal som minule, že planckova konštanta si zaslúži vlastný blog. Ako sa k nej dopracovalo. Pri skúmaní žiarenia celkom čierného telesa Anglický fyzici Raylegh a Jeans podľa úvahy, elektromagnetická viac »

Čierna hora, Podgorica, protest, žlté vesty

V Čiernej Hore sa od stredy chystajú protesty 'žltých viest'

10.12.2018 09:17

Sympatizanti opozície chcú, aby sa Čierna Hora stala lepšou krajinou - ako Francúzsko.

sprievod, moskva, rusko, cervene namestie, tank, hufnica

Rusi sú svetovou dvojkou vo výrobe zbraní za USA, predbehli Britániu

10.12.2018 09:10

Rusko sa vlani stalo druhým najväčším výrobcom zbraní za Spojenými štátmi merané tržbami zbrojoviek.

Arménsko, Nikol Pašinjan, voľby

Vo voľbách v Arménsku zvíťazila aliancia premiéra Pašinjana

10.12.2018 08:25

Podľa analytikov sa Pašinjan bude usilovať o dodržanie svojich sľubov a zároveň zostať za dobre s kľúčovým spojencom Ruskom.

Peniaze, jen, libra, dolár euro

Japonská ekonomika klesla najviac za štyri roky

10.12.2018 08:00

Japonská ekonomika v treťom štvrťroku klesla podľa revidovaných údajov v celoročnom prepočte o 2,5 percenta, čo bol najvyšší prepad za viac ako štyri roky.