Založ si blog

Načo čo je nám dôležité číslo e

Chcel by som názorne poukázať na zmysel eulerovho čísla e v matematike resp. v technike. Minule som písal čo sú to vlastne derivácie. je to nájdenie pomeru zmeny osy y na zmene x keď zmena y je daná podľa funkcie x. Ako príklad udal rýchlosť. Rýchlosť je zmena dráhy na zmene času podľa určitej funkcie. Ale zmena dráhy v závislosti na čase môže byť hocijaká napr ako bude stúpať rýchlosť tak zrýchlenie sa môže meniť počas dráhy rôzne. Pre výpočet okamžitej rýchlosti musíme vypočítať zmenu dráhy na zmene času v jednom bode na grafe, podľa danej funkcie. To sa nazýva derivovanie funkcie. Na vzorci mám zápis pre odvodenie derivácie z limity kde dx je zmena na osy x v jednom bode. Hore je iba d automaticky vieme, že je to na osy y.

mathtex-3Toto je trochu iný zápis ako minule ale je iba obecnejši pretože h=Δx =x-x0. Exponenciálna funkcia y=ax má zápis pre limitu kde a je základ funkcie a x je exponent. mathtex-3h je zmena exponentu. Zlomok si upravíme na ax*(ah1)/h. Keď bude h=0 dostávame ax*(1-1)/0 pretože číslo na nultú je vždy 1. Z toho dostaneme ax*0/0=ax*1. Ostane nám axKeby sme si za to a dosadili číslo e tak by bola f(ex)´=ex. Derivácia funkcie ex´=ex. Prečo iba e a nie hocijaké číslo a. Vysvetlím to na výpočtoch pomeru zmeny y na zmene x v bode nula na osy x na tabuľkách aj na grafe. Pretože každé číslo na nultú je 1 ale nie každá dotyčnica bude mať na osy y 45° uhol tzn. jej tangens bude 1. V prvom stĺpci je základv druhom je vypočítaná mocnina. V riadku kde je 1 je mocnina x0  ktorá je vždy 1. V druhom riadku je mocnina zvýšená z nuly. Pre prvú tabuľku je exponent 0,05. V treťom stĺpci je rozdiel mocniny kde exponent je väčší ako nula mínus nultá odmocnina. V štvrtom stĺpci je pomer rozdielu mocnín/zvýšenie odmocniny. Je to vlastne ten tangens ale iba pravouhlého ktorý by sme urobili na krivke grafu. Ako to vyzerá je v minulom blogu graf. Vzorec je tg=a0+0,05-a0/0,05. Pre základ 2,8 je tg vyšší od 1 a pre 2,6 je nižší od 1. Pre základ 2, 7 a2,71 sa približujú k 1. Tabuľky mám z excelu, výsledky sú menej presné lebo excel počíta väčšie desatinné miesta s chybami. V dolnej tabuľke som znížil zvýšenie exponentu na 0,01 a tam už tabuľka je presnejšia. Základ 2,71 je máločo väčší od1.

2,8 1
2,8 1,052829152 0,052829152 1,056583033
2,71 1
2,71 1,051110718 0,051110718 1,02221436
2,7 1
2,7 1,050916445 0,050916445 1,018328908
2,6 1
2,6 1,048935219 0,048935219 0,978704375

 

2,8 1
2,8 1,010349382 0,010349382 1,034938237
2,71 1
2,71 1,010019347 0,010019347 1,001934724
2,7 1
2,7 1,009982009 0,009982009 0,998200891
2,6 1
2,6 1,00960091 0,00960091 0,96009103

 

Dole je znázornený graf pre funkciu y=ex modrou čiarou. Dotyčnica je červená rovná čiara. S osou zviera x je 45° uhol. Tangens 45° je 1. Čiarkované čiary tiež prechádzajú jednotkou na osy y, sú to funkcie ax. Krivka ktorá stúpa strmejšie má základ a väčší . ako e naopak plytšia krivka má základ menší ako e. 255px-exp_derivative_at_0-svg

Vidíme, že dotyčnice, tangety v tomto bode pre rôzne krivky budú rôzne. Aby sme si ich vypočítali musíme e niečim násobiť. Vychádzame z toho, že prirodzený logaritmus čísla ktoré je väčšie ako e je väčší a naopak. Z grafu je vidno, že pri strmejšej krivke je uhol dotyčnice väčší a naopak pri plytšej krivke bude uhol dotyčnice menší. Čím je väčší uhol  tým je väčší tg. Dotyčnica funkcie y=ex zviera 45° uhol s osou x. Tangens 45° je 1. Preto je derivácia funkcie ex´=ex. Potom derivácia funkcie je ax´=ax*lna.To má veľký význam v technickej praxi.  Uvediem len príklad pre zvýšenie rýchlosti kde dráha v závislosti na rýchlosti stúpa funkciou s=kt-1. -1 je tam preto lebo pri k0 by bola 1 a my máme pri čase 0 dráhu 0 . k si zvolíme 3. Pri 1s bude 31-1=2m, 2s=32-1=8m, 3s=33-1=26m, 4s=34-1=80m. Vyrátajme si aká rýchlosť bude pri 3,75s. Dosadíme do vzorca v=33,75*ln3. Výpočet je 61,54669054*1,098612=67,61595055 m/s .Ináč by sa to vypočítať nedalo.

 

 

Veľmi ťažko sa mi písal tento blog. Graf a vzorce vypadávali z blogu, Preto bol by som rád keby si ten kto to prečíta aj aby pochopil z toho niečo.

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Uložiť

Planckove jednotky

13.11.2018

Prečo vlastne Planck vytvoril jednotky podľa konštánt. My sme stanovili základné jednotky meter a kilogram podľa určitých dohovorov. Meter je desať milióntina zemského kvadrantu. Kilogram je viac »

Planckove hodnoty

23.10.2018

Einstein zostavil rovnicu pre celkovú energiu telesa E=m·c2 a podľa Planckovej konštanty a frekvencie určil energiu fotónu Ef=h·f. Pokiaľ by sme miesto frekvencie fotónu udávali uhlovú rýchlosť viac »

Planckova konštanta

11.10.2018

Písal som minule, že planckova konštanta si zaslúži vlastný blog. Ako sa k nej dopracovalo. Pri skúmaní žiarenia celkom čierného telesa Anglický fyzici Raylegh a Jeans podľa úvahy, elektromagnetická viac »

Afganistan, výbuch, útok, dym

Útok Talibanu na západe Afganistanu pripravil o život 30 policajtov

15.11.2018 09:44

Militantom sa podarilo ukoristiť veľké množstvo zbraní a munície.

peniaze, euro

Slováci vyhľadávajú rizikové investície do firemných dlhopisov

15.11.2018 09:33

Nízke úrokové sadzby na klasických sporiacich produktoch vedú Slovákov k tomu, že čoraz viac vyhľadávajú rizikovejšie investície do firemných dlhopisov.

Marian Janušek

VIDEO: Začína sa súd s exministrom Janušekom z kauzy nástenkový tender

15.11.2018 09:30

Najvyšší súd má dnes rozhodnúť o odvolaní exministra výstavby Mariana Janušeka v kauze nástenkový tender.

Marian Kočner

Kočnerove zmenky sú falošné, tvrdí súdny znalec

15.11.2018 09:29, aktualizované: 09:41

Podpisy Pavla Ruska na zmenkách nie sú z roku 2000.