aldebaran.pravda.sme

Wienové merania boli správne iba pri veľmi malých vlnových dĺžkach. Rayleigh a Jeans sa snažili túto anomáliu vysvetliť ale konštantu h zanedbali, čo urobili veľkú chybu. O tom vzťahu som písal v minulom blogu. Meraním pri väčších vlnových dĺžkach bol ich vzťah správny. Nemecký fyzik Max Planck porovnával výsledky meraní s vypočítanými hodnotami. Wienov vzťah popisoval dosť presne väčšiu časť krivky meranej krivky.

Planck si všimol, že Wienov vzťah pre vlnovú dĺžku λ

môžeme skombinovať s Rayleigh – Jeansovým vzťahom

pomerne jednoducho z odvodenia funkcie e^x. Odvodením môžeme získať približnú hodnotu x podľa vzorca

Z toho si môžeme odvodiť vzorec

podľa toho môžeme rozpísať upravený Wienov vzťah a vykrátením h vo vzorci získame Rayleigh – Jeansonov vzťah. Hodnoty sa nerovnajú, vzorec má tvar

Odtiaľ intuitívne odvodil vzťah pre intenzity vlnovýchj dĺžok, ktoré vyžaruje úplne čierne teleso pri danej teplte.

Pri veľmi krátkych vlnových dĺžkach je exponent veľký, -1 môžeme zanedbať, Pri väčších vĺnových dĺžkach je exponent malý, tu sa už vo výsledku sa prejavuje -1. Takto určený vzorec dobre kopíroval krivku výsledkov meraní. Pre frekvenciu ν dostávame vzorec

Hodnotu konštanty h počítame podobne ako som písal pri Wienovom odvodení. Derivujeme Planckov vzťah podľa vlnovej dĺžky λ

Výsledok derivácie má vzorec

úpravou dostaneme rovnicu

po vykrátení dostaneme vzorec

Túto rovnicu môžeme prepísať keď za x vložíme

Potom dostaneme rovnicu

z rovnice

môžeme odvodiť číselný faktor x. Ten sa nedá jednoducho vypočítať, pretože táto rovnica obsahuje člen xe^x. Presnejšie sa určí tzv. Lambertovou W funkciou. Pôvodnú rovnicu si upravíme podľa vzoru

člen e^x/e⁵ prepíšeme na 1/W₀. Upravíme rovnicu, vložíme W₀ a dostaneme rovnicu

Z tejto rovnice dostaneme vzorec

Člen W₀ sa určí numerickou metódou v Taylerovom rade podľa vzorca

za x vložíme číslo s hodnotou (-5e^-5). Asi desiatom rade vypočítame hodnotu x s dosť veľkou presnosťou. Presnejšie vychádza W₀ = -0,0348857682557237

Číselný faktor má hodnotu 5-0,0348857682557237 = x =4,965 114 231 744 276 303.

odvodíme vzorec pre h podľa vzorca

konštanty b, k_B, c poznáme a číselný faktor x sme vypočítali. Vložením týchto hodnôt do rovnice, vypočítame hodnotu Planckovej konštanty h podľa vzorca

Hodnota vo vzorci sa veľmi málo odlišuje od udávanej hodnoty, pretože Planckova konštanta je meraná.