Trochu matematiky, dôležité číslo

10. októbra 2017, aldebaran, Nezaradené

Keď je na súradnicovej osi x je premenná mocnina ktorou umocňujem základ a tak dostanem exponenciálnu funkciu y=ax. Dole je graf funkcii kde čiarkovaná čierna krivka  ma základ 4, modrá krivka ma základ e, čierna bodkovaná ma základ 2 a červená čiara je dotyčnica krivky funkcie ex v bode x=0.

Pri skúmaní mocnín našiel škotsky matematik John Napier zaujímavú súvislosť pri porovnavaní zmeny funkcii  ax medzi základmi 3 a 2. Na osy x určíme zmenu dva body x a x2=x+Δx. Za Δx si zvolíme, nejaké malé číslo. Na osi y dostaneme zmenu Δy=y2 -y1. Δx a Δy sú strany pravouhlého trojuholníka. Pomer Δy/Δx tangens uhla prepony ktorý zviera s osou x. Zaujímavosťou je, že  pri základe a=3 má tangens väčšiu hodnotu ako y2, ale pri a=2 je hodnota tangensu menšia ako y2. Zostrojím niekolko tabuliek pre názornosť podľa vzorca

a=3, Δx=0,1

x a   y1
  y2 tan α 
0311,1161231741,16123174
1333,3483695223,483695221
23910,0451085710,45108566
332730,135325731,35325699
438190,405977194,05977097
53243271,2179313282,1793129
63729813,6537939846,5379387
7321872440,9613822539,613816
8365617322,8841457618,841448
931968321968,6524322856,52435
1035904965905,957368569,57304

tan α je väčší ako y2

a=2, Δx=0,1

 x a   y1  y2  tan α
0211,0717734630,717734625
1222,1435469251,435469251
2244,287093852,870938501
3288,57418775,741877003
421617,148375411,48375401
523234,296750822,96750801
626468,593501645,93501602
72128137,187003291,87003205
82256274,3740064183,7400641
92512548,7480128367,4801282
10210241097,496026734,9602564

tan α menší ako y2

a=2,8, Δx= 0,01

 x a  y1  y2 tan α 
02,811,0103493821,034938237
12,82,82,8289782712,897827063
22,87,847,9211391588,113915776
32,821,95222,1791896422,71896417
42,861,465662,10173163,61309969
52,8172,10368173,8848468178,1166791
62,8481,890304486,877571498,7267015
72,81349,2928511363,2571991396,434764
82,83778,0199833817,1201573910,01734
92,810578,4559510687,9364410948,04855
102,829619,6766729926,2220330654,53595

tan α je väčší ako y2

a=2,7, Δx= 0,01,

 x a   y1  y2 tan α 
02,711,0099820090,998200891
12,72,72,7269514242,695142405
22,77,297,3627688457,276884492
32,719,68319,8794758819,64758813
42,753,144153,6745848853,04848795
52,7143,48907144,9213792143,2309175
62,7387,420489391,2877238386,7234772
72,71046,035321056,4768541044,153388
82,72824,2953652852,4875062819,214148
92,77625,5974857701,7162677611,878201
102,720589,1132120794,6339220552,07114

tan α je menší ako y2

a=2,72, Δx =0,001,

x  a  y1 y2  tan α
02,7211,0010011331,001132679
12,722,722,7227230812,723080888
22,727,39847,405806787,406780015
32,7220,12364820,1437944420,14644164
42,7254,7363225654,7911208854,79832127
52,72148,8827974149,0318488149,0514338
62,72404,9612088405,3666287405,4199001
72,721101,4944881102,597231102,742128
82,722996,0650072999,0644662999,458589
92,728149,296828157,4553478158,527361
102,7222166,0873522188,2785522191,19442

tan α väčší ako y2

a=2,71, Δx=0,001,

 x a  y1 y2 tan α 
02,7111,0009974460,997445753
12,712,712,7127030782,703077992
22,717,34417,3514253417,325341357
32,7119,90251119,9223626819,85167508
42,7153,9358048153,9896028553,79803946
52,71146,166031146,3118237145,7926869
62,71396,1099441396,5050423395,0981816
72,711073,4579491074,5286651070,716072
82,712909,0710412911,9726812901,640556
92,717883,582527891,4459667863,445906
102,7121364,5086321385,8185721309,9384

tan α je menší ako y2

a=2,719; Δx=0,0001

x a y1 y2 tan α
02,71911,0001000311,000314194
12,7192,7192,7192719852,719854293
22,7197,3929617,3937005287,395283822
32,71920,1014609620,1034717420,10777671
42,71954,6558723554,6613396554,67304488
52,719148,6093169148,6241825148,656009
62,719404,0687327404,1091523404,1956886
72,7191098,6628841098,7727851099,008077
82,7192987,2643822987,5632022988,202962
92,7198122,3718558123,1843478124,923853
102,71922084,7290722086,9382422091,66796

tan α je väčší ako y2.

a=2,718; Δx=0,0001

 xay1 y2   tan α
02,71811,0000999950,999946307
12,7182,7182,7182717852,717854062
22,7187,3875247,3882627137,387127342
32,71820,0792902320,0812980520,07821212
42,71854,5755108554,5809681154,57258053
52,718148,3362385148,3510713148,3282739
62,718403,1778962403,2182118403,1562484
72,7181095,8375221095,94711095,778683
82,7182978,4863852978,7842172978,326461
92,7188095,5259938096,3355028095,09132
102,71822003,6396522005,839922002,45821

tan α je menší ako y2.

Podľa tabuliek vidíme že medzi číslami 2,719 a 2,718 musí existovať nejaké číslo kde tan α sa bude rovnať   y2. znamená to že pomer Δy/Δx sa bude rovnať elementárnym zmenám, pomerom diferenciálov dy/dx. Keď si predstavíme Δy a Δx ako strany pravouhlých trojuholníkov na krivke, tak prepony pravouhlých trojuholníkov vytvárajú kostrbatú krivku. Čím bude strana Δx menšia tým bude krivka plynulejšia. Pri elemente Δx=dy bude krivka plynulá a tan α sa bude rovnať  ax. Znamená to, že tangens uhla dotyčnice kryvky sa rovná hodnote ax. Podľa grafu vidno, že v bode x=0 je uhol 45° tzn. tan α=1. Toto číslo sa nedá vypočítať, pretože je nedeliteľné a má nekonečne veľa desatinných miest. Vzorec Pre výpočet určil švajčiarský matematik Leonhard Euler, podľa neho je pomenované eulerové číslo e. Jeho približná hodnota je e=2,71828182846. Viac o ňom napíšem v druhom blogu