aldebaran.pravda.sme

Pri pozorovaní pohybu telies Newton zistil, že pri voľnom páde je nárast rýchlosti na čase rovnomerný. Vždy za rovnakú zmenu rýchlosti na zmene času prírastok rýchlosti bol rovnaký. To znamená že zrýchlenie je rovnomerné. Rovnomerná rýchlosť je vzdialenosť/čas, tam nie je žiadne zrýchlenie. Keď má teleso zrýchlenie tak na dráhe má okamžitú rýchlosť. Približne môžeme určiť okamžitú rýchlosť tak, že zmeriame dráhu, ktorú za zmenu času prešlo teleso. Vzorec je Δv=Δs/Δt. Znamená to, že zrýchlenie je zmena rýchlosti na zmene času, vzorec je a=Δv/Δt. Znamená to, že čím budú zmeny menšie tým bude výpočet presnejší. Z toho si môžeme odvodiť vzťah ako narastá dráha v závislosti na čase a urobiť graf kde na osi y bude dráha ktorú prešiel hmotný bod a na osi x je čas ktorý prešlo teleso. odvodíme to zo vzorca. konštanta je násobok t. Pre rovnomernú rýchlosť bude s=k·t, kde za t dávame 1.

Derivácia z hľadiska geometrie predstavuje nárast funkcie v danom bode. Dole graf podľa čoho sa určuje derivácia

Zmeny na osiach x a sú uvedené na vzorci podľa obrázku

Vidíme, že čím je zmena menšia tým viac sa približuje uhol α k uhlu dotyčnice. Derivácia sa značí čiarkou a odvodzuje sa z limity podľa vzorca

Keď za k vložíme 1 tak pre rovnomerné zrýchlenie dostávame je funkciu y=x². Dosadíme hodnoty do vzorca

Vynásobením a vykrátením a vložením za Δx=0 dostaneme výsledok

Z toho nám vyplýva vzorec pre deriváciu mocniny

Potom pre okamžitú rýchlosť pri rovnomernom zrýchlení je vzorec Δv=2s/t. pri rovnomernej rýchlosti je funkcia y=x¹. Keď budeme uvažovať s=k·t z toho vyplýva, že derivácia funkcie y´=kx¹ sa rovná k·1. Z toho vyplýva že derivácia konštanty je 0. Zrýchlenie sa dá odvodiť podľa vzorca

Z grafu vidíme, že y/x je tanges uhla dotyčnice, to znamená, že tangens uhla dotyčnice pri funkcii závislosti vzdialenosti na čase je rýchlosť. Deriváciou vo fyzike zisťujeme okamžitú hodnotu výslednej funkcie pri zmene základných hodnôt. Všeobecný vzorec pre deriváciu je podľa obrázka, keď zameníme za Δx h dostaneme vzorec ktorý platí pre každú jednú deriváciu.

Písal som o Eulerovom čísle e je to základ prirodzených logaritmov a vyznačuje sa tým, exponenciálna hodnota tohto čísla je rovnaká. odvodím to podľa vzorca

Opakom tejto funkcie je prirodzený logaritmus. keďže je ho funkcia je inverzná tak tak derivácia logaritmickej funkcie je y´=ln(x)=1/x. Keby sme namiesto x dosadili e tak výsledok derivácie je 1/e.

Druhá dôležitá derivácia je derivácia sínusu. derivácia sínusu predstavuje tangens dotyčnice na sínusovke, funkcie sínus. Vzorec sa upraví podľa súčtu sínusov

úpravou dostávame vzorec

limita sa dá roztrhnúť a členy prispôsobiť aby pasovali násobkom

vložením za h=0 dostaneme vzorec

vyčíslením dostaneme hodnotu (sin x)´=cos x

Predstavme si sínusovku v osiach x y ako dve polkružnice s polomerom 1. Dotyčnica musí mať v priesečníku os.uhol 45° voči osi x. pretože rovnomerne kopíruje povrch sínusovky. Keď budeme dotyčnicu otáčať na vrchol krivky tak jej uhol bude 0°. Hodnoty tangensov budú zodpovedať funkcie cos x. Kosínus 0° je 1 znamená to, že v bode x=1 bude uhol tangens 0. Otáčaním dotyčnice budu uhly na strane +x záporné, pretože dotyčnica sa otáča opačným smerom. Na x=1 bude uhol voči osi x -45° tzn. že tangens je –1. Hodnoty tangensu kopírujú sínus so zápornou hodnotou. Z toho vychádza (cos x)´=-sin x. Z týchto derivácii môžeme odvodiť ostatné derivácie.