Wienové merania boli správne iba pri veľmi malých vlnových dĺžkach. Rayleigh a Jeans sa snažili túto anomáliu vysvetliť ale konštantu h zanedbali, čo urobili veľkú chybu. O tom vzťahu som písal v minulom blogu. Meraním pri väčších vlnových dĺžkach bol ich vzťah správny. Nemecký fyzik Max Planck porovnával výsledky meraní s vypočítanými hodnotami. Wienov vzťah popisoval dosť presne väčšiu časť krivky meranej krivky.
Planck si všimol, že Wienov vzťah pre vlnovú dĺžku λ
môžeme skombinovať s Rayleigh – Jeansovým vzťahom
pomerne jednoducho z odvodenia funkcie ex. Odvodením môžeme získať približnú hodnotu x podľa vzorca
Z toho si môžeme odvodiť vzorec
podľa toho môžeme rozpísať upravený Wienov vzťah a vykrátením h vo vzorci získame Rayleigh – Jeansonov vzťah. Hodnoty sa nerovnajú, vzorec má tvar
Odtiaľ intuitívne odvodil vzťah pre intenzity vlnovýchj dĺžok, ktoré vyžaruje úplne čierne teleso pri danej teplte.
Pri veľmi krátkych vlnových dĺžkach je exponent veľký, -1 môžeme zanedbať, Pri väčších vĺnových dĺžkach je exponent malý, tu sa už vo výsledku sa prejavuje -1. Takto určený vzorec dobre kopíroval krivku výsledkov meraní. Pre frekvenciu ν dostávame vzorec
Hodnotu konštanty h počítame podobne ako som písal pri Wienovom odvodení. Derivujeme Planckov vzťah podľa vlnovej dĺžky λ
Výsledok derivácie má vzorec
úpravou dostaneme rovnicu
po vykrátení dostaneme vzorec
Túto rovnicu môžeme prepísať keď za x vložíme
Potom dostaneme rovnicu
z rovnice
môžeme odvodiť číselný faktor x. Ten sa nedá jednoducho vypočítať, pretože táto rovnica obsahuje člen xex. Presnejšie sa určí tzv. Lambertovou W funkciou. Pôvodnú rovnicu si upravíme podľa vzoru
člen ex/e5 prepíšeme na 1/W0. Upravíme rovnicu, vložíme W0 a dostaneme rovnicu
Z tejto rovnice dostaneme vzorec
Člen W0 sa určí numerickou metódou v Taylerovom rade podľa vzorca
za x vložíme číslo s hodnotou (-5e-5). Asi desiatom rade vypočítame hodnotu x s dosť veľkou presnosťou. Presnejšie vychádza W0 = -0,0348857682557237
Číselný faktor má hodnotu 5-0,0348857682557237 = x =4,965 114 231 744 276 303.
odvodíme vzorec pre h podľa vzorca
konštanty b, kB, c poznáme a číselný faktor x sme vypočítali. Vložením týchto hodnôt do rovnice, vypočítame hodnotu Planckovej konštanty h podľa vzorca
Hodnota vo vzorci sa veľmi málo odlišuje od udávanej hodnoty, pretože Planckova konštanta je meraná.