Chcel by som vysvetliť odkiaľ sme zobrali vzorce pre reťazovku. Na to, že reťazovka nie je parabola ani hyperbola prišli to už dávno. Koncom 17. storočia reťazovku vysvetlil švajčiarský matematik Johann Bernoulli na základe gravitačných účinkov na reťaze. Použil som výrazy ktoré popisujú hyperbolický uhol, hyperbolický kosínus cosh, hyperbolický sínus sinh. V blogu je požitý aj inverzný hyperbolický sínus tzv. argument hyperbolického sínusu argsinh je označovaná aj ako sinh-1. V budúcom blogu odvodím reťazovku, teraz pôjdem trochu odzadu. Derivácia reťazovky má vzorec
Aby sme vypočítali x musíme túto deriváciu integrovať. Ale nedá sa tento integrál priamo vypočítať. Reťazovka sa podobá na hyperbolu ktorá je dole na obrázku,
Môžeme si pomôcť z rovnice hyperboly. Keď vzdialenosť začiatku hyperboly na osi x od priesečníka os má hodnotu 1 platí rovnica
Môžeme upraviť túto rovnicu tak, že zameníme uhol A za funkciu u. dostávame rovnicu
vynásobením tejto rovnice a2 dostávame rovnicu
to môžeme vložiť do prvého vzťahu a dostávame upravený vzorec
Podľa vzťahu medzi sínusom a inverným sínusom medzi uhlami 0°až 90°
si môžeme odvodiť funkciu u
Aby sme vypočítali integrál musíme si odvodiť diferenciál ds podľa derivácie
Vložením hodnôt do integrálu dostávame výsledný integrál
vložením hodnoty fukcie u dostaneme výsledok pre integrál
Z toho dostávame vzorec pre x
V budúcom blogu napíšem celé odvodenie reťazovky. Reťazovka sa odvodzuje zo síl, ktoré na ňu pôsobia. Je to váha reťazovky a sila ktorá pôsobí na stred reťazovky vo vodorovnom smere. Sily sa odvodzujú z gravitačného zrýchlenia g a hmotnosti elementu reťazovky λ.