Odvodenie reťazovky

Skúsim do tejto prepolitizovanej doby napísať článok apolitický. Dokončím reakciu na článok ktorý písal Stan 021. V predchadzajúcom blogu som odvodil vzorce pre výpočet rozmerov reťazovky. V tomto blogu odvodím základnú deriváciu pre reťazovku. Začnem popisom grafu ktorý opisuje pôsobenie síl na reťazovke. Na grafe sú znázornené 3 sily. λgs , T₀ a výsledná sila T. Sila λgs je vlastne váha reťazovky medzi bodmi c a r. λ je element reťaze, g je gravitačné zrýchlenie a s je dĺžka reťaze medzi bodmi c a r. Táto sila pôsobí kolmo dole. Sila λgs pôsobí v súbežne s osou y, znamená to, že sila λgs je úmerná hodnote Δy. Silu T₀ si môžeme predstaviť ako silu ktorá ťahá stredný element reťaze do jednej strany. Sila T₀ je súbežná s osou x, znamená to že je kolmá na silu λgs a je umerná hodnote Δx. Sila T₀ je závislá od sily λgs, preto pri jej určení miesto dĺžky s použijeme fiktívnu dĺžku, ktorá je parametrom reťazovky a. Parameter vo výpočtoch určuje základnú výšku od najnižšej vzdialenosti reťazovky od zeme pri zadaných hodnotách s x y. Z toho si môžeme odvodiť vzorec, kde miesto zmeny Δx a Δy použijeme diferenciály dx a dy

Element dĺžky reťaze ds si môžeme odvodiť z Pytagorovej vety kde odvesny sú dx a dy a prepoona je ds podľa vzorca

vydelením rovnice dx dostaneme deriváciu

Z tohto vzorca si môžeme odvodiť diferenciál dx

Pre výpočet x musíme všetky dx spočítať, integrovať. Integrácia je v podstate násobenie derivácie. Počíta sa opačne ako derivácia. Integral má vzorec

Tento integral som odvodili v minulom blogu. Takto sme odvodili polovičnú vzdialenosť reťazovky medzi stĺpmi x. Podľa vzťahu medzi sínusom a inverzným sínusom medzi uhlami 0°až 90°

si môžeme vypočítať polovičnú dĺžku reťaze s

V prvej rovnici sme odvodili diferenciál dy , ten potrebujeme pre výpočet výšky stĺpca y. Rozpísaním za s dostávame rovnicu

Integráciou dy dostaneme výšku stĺpca y podľa vzorca

Vo výpočtoch sa najčastejšie stretávame kde sú udané 3 hodnoty, vtedy parameter a nepoznáme, musíme ho vypočítať a vložiť do rovnice ktorú potrebujeme vypočítať. Parameter sa nedá vypočítať obyčajnou rovnicou. Vypočítava sa z parametrickej rovnice, ktorú si ostavíme z rovníc pre hodnoty ktoré sú udané. V minulom blogu som riešil dĺžku x pri výške stĺpca y_zh a najnižšej výške reťazovky od zeme a_zh. Keďže nevieme či hodnota a_zh sa rovná parametru, znamená to, že zadaná výška stĺpca sa nerovná y. Z toho si môžeme odvodiť predlženie stĺpca p.

Píšem hodnoty ktoré sú zadané ako zh aby sa vedelo ako sa má zostaviť algoritmus. V minulom blogu som počítal dĺžku x. Parameter a som odvodil z parametrickej rovnice, ktorá je odvodená z výpočtu výšky stĺpca y a výpočtu vzdialenosti x podľa vzorca

do tejto rovnice vkladáme za a hodnoty až sa bude hodnota y_z rovnať zadanej hodnote. Vypočítaný parameter vložíme do rovnice pre výpočet dĺžky x

Keď nepoznáme s a poznáme y_z, x a a_y tak algoritmus sa zjednoduší

Pokiaľ poznáme rozmery s x y a nepoznáme najmenšiu výšku reťazovky, vtedy je najmenšia výška parameter a. Parametrickú rovnicu odvodíme z predošlých dvoch rovníc. Výsledná rovnica pre algoritmus má vzorec

Keď nepoznáme y je parameter odvodíme z algoritmu

alebo

vložíme do rovnice

Na výpočet parametrických rovníc existuje veľa spôsobov. Dnes ale najlepšie je urobiť program v počítači podľa algoritmov a parameter je určený v zlomku sekundy.