Heisenbergov myšlienkový mikroskop

Heisenbergova teória neurčitosti potrebuje podrobnejšie vysvetlenie. V minulom blogu som začal trochu od stredu. Pokúsim sa to v tom blogu lepšie vysvetliť. Základná Heisenbergova rovnica mala pôvodne vzorec

Vychádzal z fotoelektrického javu. Keď fotón vyrazí elektrón z hmoty, tak musí pôsobiť aj na pohybujúci elektrón. Keď fotón narazí do letiaceho elektrónu, zmení jeho polohu a tým pádom aj jeho hybnosť. Uvažoval, že medzi zmenou polohy  a zmenou hybnosti elektrónu, musí byť určitá matematická závislosť. Keďže elektrón je vlna aj častica, vysvetlil svoju  teóriu pomocou zákonov z optiky. Predstavil si mikroskop pod ktorým letí elektrón. dole je obrázokV momente keď bude elektrón e^– pod mikroskopom tak ožiaria ho vysokoenergetické fotóny. Fotóny zmenia hybnosť elektrónu a vychýlia ho z dráhy. Pretože elektrón je aj vlnenie, tak fotóny budú interferovať, rozptýlia sa do uhla ε, ako pri rozptylovej šošovke. Môžeme uvažovať tak, že vlnová dĺžka elektrónu, ktorá interferuje s vlnovou dĺžkou odrazeného fotónu dáva vlnovú dĺžku vysokoenergetických fotónov. Hybnosť elektrónu sa zmení na určitom zlomku dráhy Δx. Zmena Δx  nemôže byť menšia ako vlnová dĺžka odrazeného fotónu. Sínus uhla ε musí byť menší ako 1. Z toho vychádza vzorec

V podstate hodnota Δx  je vlnová dĺžka elektrónu po zrážke s fotónom. Má to význam pri meraní polohy elektrónu. Čím bude prudšia zmena uhla dráhy elektrónu, tým presnejšie určíme jeho polohu. Zmenu polohy elektrónu môžeme považovať za odchýlku merania tzn. že polohu častice nemôžeme zmerať presne. Pri rovnosti vlnovej dĺžky odrazeného fotónu a vlnovej dĺžky elektrónu je uhol ε = 90°. Vo vzorci je vtedy sínus 1. Odchýlka meranie bude vtedy najmenšia.

Keďže poznáme v podstate vlnovú dĺžku elektrónu, môžeme si odvodiť jeho hybnosť podľa vzorcaVynásobením nerovníc dostaneme vzťahS toho vychádzajú vzorce pre odchýlku polohypre hybnosťPri meraní polohy elektrónu, zmeriame vlnovú dĺžku odrazeného fotónu a uhol rozptylu. Môžeme vypočítať odchýlku polohy ale zároveň aj odchýlku hybnosti. Je to vlastne pravdepodobnosť merania polohy častice. Nebudeme presne vedieť kde sa nachádza ale budeme poznať odchýlky merania. Je to geniálny úsudok, Heisenberg spojil časticu a vlnu elektrónu do jednej rovnice.

Túto rovnicu spresnil americký fyzik Earle Hesse Kennard. Elektrón pri náraze fotónu zmení aj energiu za určitú zmenu času. Z Heisenbergovej rovnice sa odchýlka energie na odchýlke času nedá odvodiť.To viedlo Kennarda k oprave Heisenbergovho vzorca. Zobral pre odvodenie zmenu kinetickej energie elektrónu, ktorá nastane pri náraze fotónu. Odvodenie som písal v predchádzajúcom blogu, ale ešte raz ho zopakujem. Polohu pohybujúceho telesa vieme pomerne presne zmerať. Aby sme zmerali rýchlosť pohybujúceho telesa musíme poznať jeho dve polohy na dráhe. Z nameraných hodnôt zmeny dráhy Δx a zmeny času Δt  môžeme pomerne presne vypočítať priemernú rýchlosť v_p. Pokiaľ poznáme hmotnosť môžeme určiť priemernú hybnosť p_p a priemernú kinetickú energiu E_kp  Pri časticiach sa nedá poloha tak zmerať, pretože ich kinetická energia je o veľa rádov menšia ako kinetická energia telies. Merať polohu môžu fotóny, ktorých energia približne rovnako veľká ako energia častíc. Tým ale zmenia hybnosť a energiu častice. Zmenu energie častice môžeme odvodiť z kinetickú energiu elektrónu E_ke a kvantovanú energiu elektrónu E_ω vo vodíkovom atóme. Obidve energie sa približne rovnajú podľa vzorca

m_e  je hmotnosť elektrónu, v_ω  je obehová rýchlosť elektrónu ω je uhlová rýchlosť elektrónu a ħ je redukovaná Planckova konštanta. Pre zmenu energie môžeme napísať rovnicu

Dostaneme zmenu, (odchýlku energie častice ΔE

Za odchýlku času Δt  budeme uvažovať zmenu periódyT/2π. ω a T/2π sa vykráti a z toho vychádza nerovnosť

Táto nerovnica sa dá upraviť na tvar

Z toho môžeme odvodiť rovnicu pre frekvenciu fotónu, ktorá vznikne pri preskoku elektrónu medzi orbitálmi, Pri preskoku elektrónov vzniká zmena energie elektrónu ΔE=h/2T.

Hodnotu 1/T môžeme považovať za frekvenciu elektrónu a f  je frekvencia emitovaného fotónu. Podľa frekvencie fotónu môžeme vypočítať ΔE, nám udáva medzi ktorými elektrónovými vrstvami nastal preskok elektrónov v atóme.

Odchýlku hybnosti odvodíme z rovnice pre odchýlky energie, podľa vzorca

Z toho pre odchýlku hybnosti dostaneme vzorec

Pre zmenu polohy rovnicu si upravíme na tvar

Z toho vyjadríme zmenu polohy Δx

Číselné hodnoty odchýliek sú oveľa menšie, ako v pôvodnom Heisenbergovom vzťahu. Opravený Heisenbergov vzťah má tvar

Z toho môžeme odvodiť vzťah pre neurčitosti polohy častice

Pre neurčitosť hybnosti je vzťah

Ale pri predstave ako vyzerá neurčitosť polohy častice, už začína Schrödingerova teória. Je to veľmi dobre znázornené na spodnom obrázku.Časticu si musíme predstaviť ako vlnu, ktorá sa skladá z dvoch vĺn. Je to tzv. komplexná vlna. Má dve vlny, skutočná vlna, modrá a imaginárna vlna, zelená, ktoré sa pohybujú spoločne na osi x. Častica by sa mala presne nachádzať na skutočnej vlne. Imaginárna vlna sa vzďaľuje od skutočnej o neurčitosť Δx.  Neurčitosť polohy je označená žltou farbou.Na obrázku je vidieť že amplitúda nie je rovnaká ako pri rovinnej vlne.

Odvodenie výpočtov je dosť komplikované, ale v anglickej wikipedii som našiel jednoduché odvodenie, ktoré pri troche predstavivosti postačuje. Je to trochu náročnejšie na predstavu, ale pri trochu predstavivosti je možné to pochopiť.

Budem rád keď si to niekto aj prečíta.