Založ si blog

Vlnová funkcia

 

 

Do dnešnej hnusnej doby napíšem neaktuálny blog z histórie fyziky.

Rakúsko škótsky fyzik Ervín Schrodinger geniálne vysvetlil vlnovo časticovú povahou elementárnych častíc. Vysvetlil to matematicky na základe vlnovej funkcie. Chcem niečo o tom napísať, ale najprv musím vysvetliť čo je vlnenie vo fyzike. Mechanickú vlnu si môžeme vidieť keď vhodíme do vody kameň. Voda sa bude vlniť od miesta vhodenia kameňa tak, že raz vrchol bude nad hladinou a potom klesne pod hladinu, ale zároveň sa bude vlna rozťahovať a skracovať, Keď vrchol bude maximálny tak vlna bude skrátená na minimum. Tento dej sa opakuje periodicky. Vlna sa bude šíriť určitou rýchlosťou a časom zanikne. Za vlnu môžeme považovať rozvinutú kružnicu, ktorá nemá rovnaký polomer, ale jej dĺžka je . Keďže vlna je ako rozložená kružnica, môžeme si ju znázorniť pomocou trigonometrických funkcii sínus a kosínus podľa obrázka

Vlna má určitú rýchlosť v a určitú frekvenciu f. Frekvencia je obrátená hodnota doby vlny tzv. impulzu T. Vzorec je f=1/T. Praktickejšia je uhlová frekvencia ω, pretože môžeme podľa trigonometrických funkcii popísať pohybujúcu vlnu napr. veľkosť amplitúdy.  Medzi frekvenciou a uhlovou frekvenciou  je vzťah

T  je doba trvania vlny tzv. časový interval vlny. Podľa obrázku môžeme vidieť, že určitému uhlu vlny zodpovedá určitá hodnota sínusu alebo kosínusu. Vlna má určitú maximálnu hodnotu A. Podľa toho vzťahu si môžeme vypočítať výchylku vlny u pri danej uhlovej frekvencii ω,ktorá prišla do určitého bodu na dráhe za čas t a poznáme aj maximálnu hodnotu amplitúdy A.

ωt  je v podstate uhol vlny a φ je uhol pod ktorým odchádza vlna zo zdroja. ωt+φ sa nazýva fáza vlny.

Pohybujúca vlna na dráhe má svoju vlnovú dĺžku λ, ktorá je závislá na rýchlosti vlny a na frekvencii.

Uvažujme zdroj vlny ktorý vypustí vlnu a uhol φ je nulový. Začiatok vlny bude mať čas t a koniec vlny bude mať čas , ktorý je menší. Medzi amplitúdou na začiatku vlny a amplitúdy na konci vlny je určitý rozdie tzn bude určitá výchylka u. Čas si môžeme určiť, keď budeme uvažovať, že koniec vlny má vzdialenosť x od zdroja vlny, podľa vzorca = x/v. Pre výslednú výchylku musíme uvažovať rozdiel časov t-t´. Vzorec je

tento vzorec sa dá upraviť

Môžeme si vyjadriť uhlovú vlnovú konštantu k=2π/λ a dostaneme konečný vzťah

Tento vzorec určuje vzťah amplitúdy vlny v závislosti na čase a na dráhe. Keď ωt – kx=0,  tak je vlna vo fáze. Koniec vlny aj začiatok vlny majú rovnaké amplitúdy. Funcia (ωt – kx) je fáza vlny. Z toho člena sa dá odvodiť vlnová funkcia Ψ. Vlnová funkcia je v podstate uhol výseku vlny zapísaný komplexným číslom.

Matematicky vlnovú funkciu môžeme odvodiť pomocou Eulerovho vzorca

Tento vzorec je vyjadrený komplexným číslom. Myslím si, že čo sú komplexné čísla by mal vedieť, ten ktorý má strednú elektrotechnickú školu, nie je to nič zložité. i  je imaginárna jednotka. Je to umelá matematická konštanta jej rozmer je odmocnina z -1. Odmocnina zo záporného čísla neexistuje na reálnej osi. Aby si matematici zjednodušili zložité výpočty vložili do sústavy imaginárnu os. Osi majú spoločnú nulu, ale imaginárna os je kolmá na reálnu os. Čísla na imaginárnej osi sú násobkom -10,5  sú označene i. Dole je graf

 

I je imaginárna os, R je reálna. Číslo a je reálne a čísla ib a -ib sú imaginárne. Šípky znázorňujú hodnotu aj jej smer. Medzi reálnou osou a výsledným vektorom je uhol φ.Budeme vychádzať zo vzorca

Fázu (ωt – kx) si musíme upraviť na (kx-ωt), pretože predpokladáme, že vlna sa bude blížiť k pevnému bodu na dráhe x.

Na pravej strane rovnice dostaneme výsledný vzorec

Strany a a ib si môžeme odvodiť z Eulerovho vzorca

Vlnovú funkcia ktorá je závislá na dráhe x a na čase t je oznančená ako Ψ (x, t)

Konečný vzorec potom môžeme napísať ako komplexné číslo

Tento vzorec platí pre rovinnú vlnu. Je to vlna kde všetky amplitúdy sú rovnaké.

Vlnová funkcia nemá praktický význam. Ale veľmi dobre sa uplatňuje v kvantovej mechanike. Môžeme podľa energie a hybnosti častice určiť pravdepodobnosť kde sa bude nachádzať častica.

Obvod elipsy

19.07.2021

Trochu neskoro reagujem na článok o elipse, ktorý písal pán Bednár. V jeho blogu je uvedené, že veľkosť obvodu elipsy sa nedá vypočítať. Skutočne je to pravda, skúsim to vysvetliť. Keď uvážime fakt, že π má nekonečne veľa číslic za desatinnou čiarkou tak ani veľkosť kružnice sa presne nedá vypočítať. Najprv vysvetlím niečo o elipse. Elipsa je v podstate [...]

Nekonečno v guli

18.01.2021

Chcem napísať blog o Schrodingerových vlnových funkciách. Pri nich je potrebné vedieť niečo o sférických súradniciach. Sférické súradnice vychádzajú v podstate z rovnice gule. Našiel som jedno zaujímavé video o objeme guli. Chcel by som to jednoduchšie popísať a doplniť. V škole sme sa učili, že objem gule je 4/3∙πr3. Tento vzorec sa dá pomerne ľahko odvodiť [...]

Heisenbergov myšlienkový mikroskop

27.05.2020

Heisenbergova teória neurčitosti potrebuje podrobnejšie vysvetlenie. V minulom blogu som začal trochu od stredu. Pokúsim sa to v tom blogu lepšie vysvetliť. Základná Heisenbergova rovnica mala pôvodne vzorec Vychádzal z fotoelektrického javu. Keď fotón vyrazí elektrón z hmoty, tak musí pôsobiť aj na pohybujúci elektrón. Keď fotón narazí do letiaceho elektrónu, zmení [...]

pocasie-2-8-2021

Zabudnite na tridsiatky, horúčavy si dajú pauzu. Dokedy?

01.08.2021 22:34

Slovensko už nebude také žeravé ako predtým. S tlakovou nížou prišiel aj chladnejší vzduch. Ako bude vyzerať prvý augustový týždeň?

Veronika Remišová

Remišová: Očkovacia lotéria je len doplnok, nie hlavný nástroj

01.08.2021 21:24

Očkovacia lotéria je len doplnkový nástroj na zvýšenie motivácie očkovať sa proti ochoreniu COVID-19, rozhodne nie hlavný pilier.

Požiare v Turecku

Oddych v Turecku ničia plamene. Útočí aj vírus

01.08.2021 20:00

Dovolenka vo viacerých tureckých letoviskách má ohnivú podobu. A aby nešťastia nebolo málo, počet nových prípadov nákazy koronavírusom je na vzostupe.

Hlavna Porec

Chorváti zadržali Nemcov, ktorí nechali deti a psa v rozpálenom aute

01.08.2021 19:39

Chorvátska polícia zadržala nemecký pár za to, že nechal v horúčave v zamknutom aute so zatvorenými oknami svoje dve deti a psa.