aldebaran.pravda.sme

Do dnešnej hnusnej doby napíšem neaktuálny blog z histórie fyziky.

Rakúsko škótsky fyzik Ervín Schrodinger geniálne vysvetlil vlnovo časticovú povahou elementárnych častíc. Vysvetlil to matematicky na základe vlnovej funkcie. Chcem niečo o tom napísať, ale najprv musím vysvetliť čo je vlnenie vo fyzike. Mechanickú vlnu si môžeme vidieť keď vhodíme do vody kameň. Voda sa bude vlniť od miesta vhodenia kameňa tak, že raz vrchol bude nad hladinou a potom klesne pod hladinu, ale zároveň sa bude vlna rozťahovať a skracovať, Keď vrchol bude maximálny tak vlna bude skrátená na minimum. Tento dej sa opakuje periodicky. Vlna sa bude šíriť určitou rýchlosťou a časom zanikne. Za vlnu môžeme považovať rozvinutú kružnicu, ktorá nemá rovnaký polomer, ale jej dĺžka je 2π. Keďže vlna je ako rozložená kružnica, môžeme si ju znázorniť pomocou trigonometrických funkcii sínus a kosínus podľa obrázka

Vlna má určitú rýchlosť v a určitú frekvenciu f. Frekvencia je obrátená hodnota doby vlny tzv. impulzu T. Vzorec je f=1/T. Praktickejšia je uhlová frekvencia ω, pretože môžeme podľa trigonometrických funkcii popísať pohybujúcu vlnu napr. veľkosť amplitúdy.  Medzi frekvenciou a uhlovou frekvenciou  je vzťah

T  je doba trvania vlny tzv. časový interval vlny. Podľa obrázku môžeme vidieť, že určitému uhlu vlny zodpovedá určitá hodnota sínusu alebo kosínusu. Vlna má určitú maximálnu hodnotu A. Podľa toho vzťahu si môžeme vypočítať výchylku vlny u pri danej uhlovej frekvencii ω,ktorá prišla do určitého bodu na dráhe za čas t a poznáme aj maximálnu hodnotu amplitúdy A.

ωt  je v podstate uhol vlny a φ je uhol pod ktorým odchádza vlna zo zdroja. ωt+φ sa nazýva fáza vlny.

Pohybujúca vlna na dráhe má svoju vlnovú dĺžku λ, ktorá je závislá na rýchlosti vlny a na frekvencii.

Uvažujme zdroj vlny ktorý vypustí vlnu a uhol φ je nulový. Začiatok vlny bude mať čas t a koniec vlny bude mať čas t´, ktorý je menší. Medzi amplitúdou na začiatku vlny a amplitúdy na konci vlny je určitý rozdie tzn bude určitá výchylka u. Čas t´ si môžeme určiť, keď budeme uvažovať, že koniec vlny má vzdialenosť x od zdroja vlny, podľa vzorca t´= x/v. Pre výslednú výchylku musíme uvažovať rozdiel časov t-t´. Vzorec je

tento vzorec sa dá upraviť

Môžeme si vyjadriť uhlovú vlnovú konštantu k=2π/λ a dostaneme konečný vzťah

Tento vzorec určuje vzťah amplitúdy vlny v závislosti na čase a na dráhe. Keď ωt – kx=0,  tak je vlna vo fáze. Koniec vlny aj začiatok vlny majú rovnaké amplitúdy. Funcia (ωt – kx) je fáza vlny. Z toho člena sa dá odvodiť vlnová funkcia Ψ. Vlnová funkcia je v podstate uhol výseku vlny zapísaný komplexným číslom.

Matematicky vlnovú funkciu môžeme odvodiť pomocou Eulerovho vzorca

Tento vzorec je vyjadrený komplexným číslom. Myslím si, že čo sú komplexné čísla by mal vedieť, ten ktorý má strednú elektrotechnickú školu, nie je to nič zložité. i  je imaginárna jednotka. Je to umelá matematická konštanta jej rozmer je odmocnina z -1. Odmocnina zo záporného čísla neexistuje na reálnej osi. Aby si matematici zjednodušili zložité výpočty vložili do sústavy imaginárnu os. Osi majú spoločnú nulu, ale imaginárna os je kolmá na reálnu os. Čísla na imaginárnej osi sú násobkom -1^0,5  sú označene i. Dole je graf

I je imaginárna os, R je reálna. Číslo a je reálne a čísla ib a -ib sú imaginárne. Šípky znázorňujú hodnotu aj jej smer. Medzi reálnou osou a výsledným vektorom je uhol φ.Budeme vychádzať zo vzorca

Fázu (ωt – kx) si musíme upraviť na (kx-ωt), pretože predpokladáme, že vlna sa bude blížiť k pevnému bodu na dráhe x.

Na pravej strane rovnice dostaneme výsledný vzorec

Strany a a ib si môžeme odvodiť z Eulerovho vzorca

Vlnovú funkcia ktorá je závislá na dráhe x a na čase t je oznančená ako Ψ (x, t)

Konečný vzorec potom môžeme napísať ako komplexné číslo

Tento vzorec platí pre rovinnú vlnu. Je to vlna kde všetky amplitúdy sú rovnaké.

Vlnová funkcia nemá praktický význam. Ale veľmi dobre sa uplatňuje v kvantovej mechanike. Môžeme podľa energie a hybnosti častice určiť pravdepodobnosť kde sa bude nachádzať častica.