Chcem napísať blog o Schrodingerových vlnových funkciách. Pri nich je potrebné vedieť niečo o sférických súradniciach. Sférické súradnice vychádzajú v podstate z rovnice gule. Našiel som jedno zaujímavé video o objeme guli. Chcel by som to jednoduchšie popísať a doplniť.
V škole sme sa učili, že objem gule je 4/3∙πr3. Tento vzorec sa dá pomerne ľahko odvodiť pomocou ale integrálov, ale nie každý by tomu rozumel pretože funkcia na integrovanie je pomerne zložitá. Objem gule si môžeme sčasti nahradiť objemom naskladaných valčekov s rovnakou výškou ktoré sa dotýkajú jednou podstavou povrchu gule. Vyzerá to ako pyramída v gule. Čím bude tých valčekov viac tým výpočet objemu gule bude presnejší. Keď bude tých valčekov nekonečné množstvo, tak ich celkový objem sa bude rovnať objemu gule. Pre názornosť som nakresli taký nepodarený obrázok, ale na pochopenie to stačí. Rozdelíme guľu na polovicu. Polomer rozdelíme na rovnakých n časti, zmestí sa tam n-1 valčekov.
Na obrázku je znázornený rez vrchnej pologule v ktorej sú uložené valčeky, tak ako som opísal. Objem valčeka je podstava krát výška. Výška v našom prípade je výška válčeka v=r/n. Podstavu má každý valček inú, pretože každý má iný polomer. Jeho polomer označíme ako xi. je to preto lebo jeho polomer je rovnobežný s osou x a i určuje poradový valček od osy x. Ja som si rozdelil polguľu na 5 častí tzn. že sú tam 4 valčeky. Polomer r sa dotýka 3. valčeka na vrchnej podstave. Dostávame pravouhlý trojuholník, kde poznáme hodnotu yi a r. hodnotu yi má vzorec
yi=r∙i/n. Druhá mocnina má vzorec
Podľa rovnici kružnice si môžeme odvodiť štvorec xi podľa vzorca
vložením za yi dostávame rovnicu
Objem valčeka má vzorec Vv=πr2∙v. Vložení do rovnice hodnoty pre xi a v dostaneme vzorec pre objem daného valčeka
Celkový súčet válčekov je (n-1). Valčeky nasledujú v poradi 1+2+3+4…. To znamená že i sa priratava po 1. Vzorec pre súčet je
Pomer n2/n3 je pre každý valček rovnaký. Pretože potrebujeme spočítať iba i2 , musíme vynásobiť počtom valčekov máme n-1. Z toho dostávame upravený vzorec pre sumu
Z toho dostávame vzorec pre súčet objemu valčekov VΣVi
Čím bude n väčšie, tým presnejší výsledok dostaneme. Výpočet sumy kde n je vysoké je veľmi prácny. Musíme nájsť nejaký systém ako spočítať ľubovoľný počet prirodzených čísel, ktoré idú za sebou. Môžeme si to predstaviť na rovnováhe páky. Aby na páke nastala rovnováha musí byť súčet točivých momentov F∙r rovnaký na oboch poloviciach. Jeden príklad je znázornený je na spodnom obrázku.
Na závažia pôsobí gravitačné zrýchlenie rovnako, preto budeme uvažovať iba hmotnosti m a vzdialenosť od bodu P. Vzdialenosť medzi bodom P a posledným závažím je n. Uvažujme, že vzdialenosť medzi dvoma závažiami aj medzi prvým závažím a bodom P je 1. Predpokladajme, že závažia sú rovnaké. Potom pre prvé platí m∙1, pre druhé m∙2 a postupne až pre n-té závažie m∙n. Chceme ho nahradiť jedným závažím o hmotnosti M na druhej strane, ktorého hmotnosť rovná sa súčtu závaží na druhej strane páky. Keďže závažia sú rovnaké tak ich násobíme ich počtom. Keďže vzdialenosti medzi závažiami je 1, tak počet závaží je n. Dostaneme vzorec M=m∙n. Aby páka bola v rovnováhe, tak vzdialenosť hmotnosti M od bodu P sa musí rovnať vzdialenosti ťažiska na druhej polovici páky. Ťažisko je medzi dvoma koncovými závažiami je presne v strede, pretože hmotnosti a vzdialenosti sú rovnako rozložené. Podľa obrázka môžeme napísať rovnicu pre vzdialenosť ťažiska od bodu P.
Vynásobením počtom hmotností dostaneme vzorec
Keď vyhodíme m dostaneme vzorec pre sumu n kde i je prirodzené číslo od 1 až po n
Ale mi máme súčet druhých mocnín. Tiež sa to dá znázorniť na rovnováhe na páke, ale hmotností je tam viac. Znázorňuje to obrázok dole
Závažia sú rozložené do radov, ktoré nasledujú za sebou tak, že každý rad má o jednu hmotnosť viac. Zavážia majú medzi sebou rovnakú vzdialenosť, preto vytvárajú rovnomerný trojuholník na osi podľa obrázku hore. Výsledná hmotnosť M v tom prípade je
Pretože zavážia vytvárajú rovnostranný trojuholník mení sa vzdialenosť d. Z fyziky vieme, že ťažisko v trojuholníku je v priesečnici ťažníc. Vzdialenosť priesečníka od vrcholu je 2/3 vyšky trojuholníka. Z toho vychádza vzorec pre dĺžku d.
Vynásobením dostaneme rovnicu
Z toho vychádza rovnica pre súčet druhých mocnín prirodzených čísel
Ale máme vzorec konečné číslo je n-1. Musíme miesto n, n-1. Roznásobením dostávame vzorec
Po roznásobení dostaneme konečný vzorec pre n-1 a i2.
Odrátaním členov v zátvorke
dostaneme výsledok
Vynásobením πr3 vychádza vzorec pre súčet objemov valčekov
Keď by sme uvažovali, že počet valčekov by bol nekonečný, v zátvorke dostaneme hodnotu
Vynásobením 2∙πr3 dostaneme vzorec pre objem gule
keď viem odvodiť objem gule bez integrálov, veľmi jednoducho sa dá zo vzorca pre objem gule odvodiť povrch gule.
Uvažujme, že vložíme rovnomerne guľu s polomerom r do guľovej dutiny. Polomer guľovej dutiny je väčšia od polomeru guli o rozmer h tzn. že jej polomer má rozmer r+h. Predpokladajme, že medzi guľou a guľovou dutinou je plastická hmota. Objemy gule a guľovej dutiny majú vzorce
Keby sme hmotu ktorá je medzi dutinou a guľou vytiahli a rozliali tak aby mala rovnomernú výšku h tak dostaneme určitú plochu S, ktorá bude o trochu väčšia ako plocha gule. Táto plocha má vzorec
Rozpísaním zlomku dostaneme vzorec
Vydelením h a odpočítaním (4/3)Πr3 dostaneme konečný vzorec pre plochu S
Keď budeme h znižovať bude sa plocha S približovať ploche gule Sg. Keď bude h=0 dostaneme vzorec
Obsah guľovej dutiny bude rovný obsahu povrchu gule S=4πr2=Sg. Neviem kto prvý prišiel na vzťah pre výpočet objemu a obsahu povrchu gule, ale výpočtom pomocou integrálov zaberie pár riadkov. O tom odvodení som písal v blogu „Načo sú nám integrály.
Ospravedlňujem sa, že som nenapísal článok o aktuálnej politickej situácii. Dúfam, že si to niekto aj prečíta