Trochu matematiky, dôležité číslo

Keď je na súradnicovej osi x je premenná mocnina ktorou umocňujem základ a tak dostanem exponenciálnu funkciu y=ax. Dole je graf funkcii kde čiarkovaná čierna krivka  ma základ 4, modrá krivka ma základ e, čierna bodkovaná ma základ 2 a červená čiara je dotyčnica krivky funkcie ex v bode x=0.

Pri skúmaní mocnín našiel škotsky matematik John Napier zaujímavú súvislosť pri porovnavaní zmeny funkcii  ax medzi základmi 3 a 2. Na osy x určíme zmenu dva body x a x2=x+Δx. Za Δx si zvolíme, nejaké malé číslo. Na osi y dostaneme zmenu Δy=y2 -y1. Δx a Δy sú strany pravouhlého trojuholníka. Pomer Δy/Δx tangens uhla prepony ktorý zviera s osou x. Zaujímavosťou je, že  pri základe a=3 má tangens väčšiu hodnotu ako y2, ale pri a=2 je hodnota tangensu menšia ako y2. Zostrojím niekolko tabuliek pre názornosť podľa vzorca

a=3, Δx=0,1

x a   y1
  y2 tan α 
0311,1161231741,16123174
1333,3483695223,483695221
23910,0451085710,45108566
332730,135325731,35325699
438190,405977194,05977097
53243271,2179313282,1793129
63729813,6537939846,5379387
7321872440,9613822539,613816
8365617322,8841457618,841448
931968321968,6524322856,52435
1035904965905,957368569,57304

tan α je väčší ako y2

a=2, Δx=0,1

 x a   y1  y2  tan α
0211,0717734630,717734625
1222,1435469251,435469251
2244,287093852,870938501
3288,57418775,741877003
421617,148375411,48375401
523234,296750822,96750801
626468,593501645,93501602
72128137,187003291,87003205
82256274,3740064183,7400641
92512548,7480128367,4801282
10210241097,496026734,9602564

tan α menší ako y2

a=2,8, Δx= 0,01

 x a  y1  y2 tan α 
02,811,0103493821,034938237
12,82,82,8289782712,897827063
22,87,847,9211391588,113915776
32,821,95222,1791896422,71896417
42,861,465662,10173163,61309969
52,8172,10368173,8848468178,1166791
62,8481,890304486,877571498,7267015
72,81349,2928511363,2571991396,434764
82,83778,0199833817,1201573910,01734
92,810578,4559510687,9364410948,04855
102,829619,6766729926,2220330654,53595

tan α je väčší ako y2

a=2,7, Δx= 0,01,

 x a   y1  y2 tan α 
02,711,0099820090,998200891
12,72,72,7269514242,695142405
22,77,297,3627688457,276884492
32,719,68319,8794758819,64758813
42,753,144153,6745848853,04848795
52,7143,48907144,9213792143,2309175
62,7387,420489391,2877238386,7234772
72,71046,035321056,4768541044,153388
82,72824,2953652852,4875062819,214148
92,77625,5974857701,7162677611,878201
102,720589,1132120794,6339220552,07114

tan α je menší ako y2

a=2,72, Δx =0,001,

x  a  y1 y2  tan α
02,7211,0010011331,001132679
12,722,722,7227230812,723080888
22,727,39847,405806787,406780015
32,7220,12364820,1437944420,14644164
42,7254,7363225654,7911208854,79832127
52,72148,8827974149,0318488149,0514338
62,72404,9612088405,3666287405,4199001
72,721101,4944881102,597231102,742128
82,722996,0650072999,0644662999,458589
92,728149,296828157,4553478158,527361
102,7222166,0873522188,2785522191,19442

tan α väčší ako y2

a=2,71, Δx=0,001,

 x a  y1 y2 tan α 
02,7111,0009974460,997445753
12,712,712,7127030782,703077992
22,717,34417,3514253417,325341357
32,7119,90251119,9223626819,85167508
42,7153,9358048153,9896028553,79803946
52,71146,166031146,3118237145,7926869
62,71396,1099441396,5050423395,0981816
72,711073,4579491074,5286651070,716072
82,712909,0710412911,9726812901,640556
92,717883,582527891,4459667863,445906
102,7121364,5086321385,8185721309,9384

tan α je menší ako y2

a=2,719; Δx=0,0001

x a y1 y2 tan α
02,71911,0001000311,000314194
12,7192,7192,7192719852,719854293
22,7197,3929617,3937005287,395283822
32,71920,1014609620,1034717420,10777671
42,71954,6558723554,6613396554,67304488
52,719148,6093169148,6241825148,656009
62,719404,0687327404,1091523404,1956886
72,7191098,6628841098,7727851099,008077
82,7192987,2643822987,5632022988,202962
92,7198122,3718558123,1843478124,923853
102,71922084,7290722086,9382422091,66796

tan α je väčší ako y2.

a=2,718; Δx=0,0001

 xay1 y2   tan α
02,71811,0000999950,999946307
12,7182,7182,7182717852,717854062
22,7187,3875247,3882627137,387127342
32,71820,0792902320,0812980520,07821212
42,71854,5755108554,5809681154,57258053
52,718148,3362385148,3510713148,3282739
62,718403,1778962403,2182118403,1562484
72,7181095,8375221095,94711095,778683
82,7182978,4863852978,7842172978,326461
92,7188095,5259938096,3355028095,09132
102,71822003,6396522005,839922002,45821

tan α je menší ako y2.

Podľa tabuliek vidíme že medzi číslami 2,719 a 2,718 musí existovať nejaké číslo kde tan α sa bude rovnať   y2. znamená to že pomer Δyx sa bude rovnať elementárnym zmenám, pomerom diferenciálov dy/dx. Keď si predstavíme Δy a Δx ako strany pravouhlých trojuholníkov na krivke, tak prepony pravouhlých trojuholníkov vytvárajú kostrbatú krivku. Čím bude strana Δx menšia tým bude krivka plynulejšia. Pri elemente Δx=dy bude krivka plynulá a tan α sa bude rovnať  ax. Znamená to, že tangens uhla dotyčnice kryvky sa rovná hodnote ax. Podľa grafu vidno, že v bode x=0 je uhol 45° tzn. tan α=1. Toto číslo sa nedá vypočítať, pretože je nedeliteľné a má nekonečne veľa desatinných miest. Vzorec Pre výpočet určil švajčiarský matematik Leonhard Euler, podľa neho je pomenované eulerové číslo e. Jeho približná hodnota je e=2,71828182846. Viac o ňom napíšem v druhom blogu

Využitie jadrových síl III

13.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcich blogoch. Dúfam, že mi prepáčite, že nepíšem o politike. Pred vojnou v Nemecku bolo objavené štiepenie uránu. Po objavení kritického množstva, začali Nemeckí vedci zlúčení okolo Heisenberga uvažovať ako by sa dala využiť energia, ktorá sa uvoľní pri lavínovej reťazovej reakcii vo vojenskej oblasti. Uvedomovali si, že môžu vyrobiť [...]

Využitie jadrových síl II

08.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcom blogu o jadrových o využití jadrových síl. Keď dopadne na atóm uránu 235U neutrón s malou energiou, tak ho pohlti a vznikne izotop 236U. Jadro atómu 236U sa rozpadne na 2 jadrá ktoré majú menšiu atómovú hmotnosť a od seba odletia. Pri tom sa uvoľnia aj 2 alebo 3 neutróny s vyššou energiou. Predstavme si, že máme oproti sebe 2 rovnaké [...]

Využitie jadrových síl

01.11.2023

Do tejto prepolitizovanej doby chcem napísať blog ktorý je mimo diania okolo nás. Napíšem niečo z histórie fyziky. Jadrá atómov drží pokope tzv. silná jadrová sila. Je taká silná, že dokáže udržať pokope aj protóny medzi ktorými pôsobia veľmi silné elektrostatické odpudivé sily. Jadrová sila pôsobí len na veľmi malé vzdialenosti. Jadrá atómov sú preto veľmi [...]

vojna na Ukrajine

ONLINE: Bojuje sa v Kupjansku. Ukrajina žiada spojencov o rýchle rozhodnutia, hovorí o kritickej chvíli

14.11.2024 06:10

Na Rusko bude fungovať len sila, tvrdí Kyjev a žiada o rýchle rozhodnutia. Podľa Ukrajiny je ohrozená globálna bezpečnosť.

Biden Trump

Vznik fašistického režimu v USA? Trump sa rád hrá na zloducha, ale chce byť milovaný, myslí si historik

14.11.2024 06:00

Chcú Američania vidieť, ako budú vojaci chodiť po domoch, brať deti zo škôl a zatvárať ľudí do koncentračných táborov?

Košice súd policajt

Smrť muža v Košiciach: Zachraňovali ho lekári, no následkom zranení podľahol. Obvinený policajt ide do väzby, svedči proti nemu kolega

14.11.2024 06:00

Pravda prináša odpovede na najdôležitejšie otázky o policajnom násilí, ktoré sa odohralo v Košiciach

inverzia, Devínska Kobyla, mReportér

Bratislava sa ponorila do totálnej hmly. Pozrite sa na ňu z modernej rozhľadne

14.11.2024 05:00

Zábery zachytil mReportér Martin Špaček.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 48
Celková čítanosť: 187630x
Priemerná čítanosť článkov: 3909x

Autor blogu

Kategórie