Keď je na súradnicovej osi x je premenná mocnina ktorou umocňujem základ a tak dostanem exponenciálnu funkciu y=ax. Dole je graf funkcii kde čiarkovaná čierna krivka ma základ 4, modrá krivka ma základ e, čierna bodkovaná ma základ 2 a červená čiara je dotyčnica krivky funkcie ex v bode x=0.
Pri skúmaní mocnín našiel škotsky matematik John Napier zaujímavú súvislosť pri porovnavaní zmeny funkcii ax medzi základmi 3 a 2. Na osy x určíme zmenuΔx. Odratávame väčšie x2 od menšieho x1 podľa vzoru (x2-x1)/n kde n je počet na ktorý chceme rozdeliť vzdialenosť medzi bodmi na osi x. Z toho vychádza pre x vynásobenie Δx násobkom nx. Na zvislej osi y dostaneme zmenu Δy=y2 -y1. Δx a Δy sú strany pravouhlého trojuholníka. Pomer Δy/Δx tangens uhla prepony ktorý zviera s osou x. Zaujímavosťou je, že pri základe a=3 má tangens väčšiu hodnotu ako y2, ale pri a=2 je hodnota tangensu menšia ako y2. Z toho sa dajú odvodiť vzorce na zostrojenie tabuliek
V tabuľke pre hodnoty a=3, Δx=0,1, je tan α väčší ako y2
x
a
y1
y2
tan α
0
3
1
1,116123174
1,16123174
0,1
3
1,116123174
1,24573094
1,296077656
0,2
3
1,24573094
1,39038917
1,446582307
0,3
3
1,39038917
1,551845574
1,614564036
0,4
3
1,551845574
1,732050808
1,802052337
0,5
3
1,732050808
1,933182045
2,011312374
0,6
3
1,933182045
2,15766928
2,24487235
0,7
3
2,15766928
2,408224685
2,505554053
0,8
3
2,408224685
2,68787538
2,796506942
0,9
3
2,68787538
3
3,121246205
1
3
3
3,348369522
3,483695221
V tabuľke pre a=2, Δx=0,1 je tan α menší ako y2
x
a
y1
y2
tan α
0
2
1
1,00695555
0,695555006
0,1
2
1,071773463
1,079228237
0,745477397
0,2
2
1,148698355
1,156688184
0,798982891
0,3
2
1,231144413
1,2397077
0,856328659
0,4
2
1,319507911
1,328685814
0,917790332
0,5
2
1,414213562
1,424050196
0,983663322
0,6
2
1,515716567
1,526259209
1,054264245
0,7
2
1,624504793
1,635804117
1,12993244
0,8
2
1,741101127
1,753211443
1,211031604
0,9
2
1,866065983
1,879045498
1,297951535
1
2
2
2,0139111
1,391110011
Pri a=2,8 pre Δx= 0,01, tan α je väčší ako y2
x
a
y1
y2
tan α
0
2,8
1
1,010349382
1,034938237
0,01
2,8
1,010349382
1,020805874
1,045649208
0,02
2,8
1,020805874
1,031370585
1,056471032
0,03
2,8
1,031370585
1,042044633
1,067404854
0,04
2,8
1,042044633
1,052829152
1,078451835
0,05
2,8
1,052829152
1,063725283
1,089613146
0,06
2,8
1,063725283
1,074734183
1,100889969
0,07
2,8
1,074734183
1,085857018
1,1122835
0,08
2,8
1,085857018
1,097094967
1,123794947
0,09
2,8
1,097094967
1,108449223
1,135425531
0,1
2,8
1,108449223
1,119920987
1,147176484
Pri a=2,7 pre Δx=0,01, tan α je menší ako y2
x
a
y1
y2
tan α
0
2,7
1
1,009982009
0,998200891
0,01
2,7
1,009982009
1,020063658
1,008164941
0,02
2,7
1,020063658
1,030245943
1,018228452
0,03
2,7
1,030245943
1,040529867
1,028392418
0,04
2,7
1,040529867
1,050916445
1,03865784
0,05
2,7
1,050916445
1,061406703
1,049025732
0,06
2,7
1,061406703
1,072001674
1,059497116
0,07
2,7
1,072001674
1,082702404
1,070073026
0,08
2,7
1,082702404
1,093509949
1,080754504
0,09
2,7
1,093509949
1,104425375
1,091542605
0,1
2,7
1,104425375
1,115449759
1,102438393
pri a0=2,72 som znížil Δx na 0,001 preto som rozdelil kvôli tabulku kvôli prehľadnosti prvá je medzi 0x až 0,01x a v druhej tatuľke x=0,09 až do x= 1. Hodnota tan α je vyššia ako y2, ale rozdiel medzi hodnotami je malý
x
a
y1
y2
tan α
0
2,72
1
1,001001133
1,001132679
0,001
2,72
1,001001133
1,002003268
1,002134946
0,002
2,72
1,002003268
1,003006406
1,003138216
0,003
2,72
1,003006406
1,004010548
1,004142491
0,004
2,72
1,004010548
1,005015696
1,00514777
0,005
2,72
1,005015696
1,00602185
1,006154057
0,006
2,72
1,00602185
1,007029012
1,00716135
0,007
2,72
1,007029012
1,008037181
1,008169653
0,008
2,72
1,008037181
1,00904636
1,009178964
0,009
2,72
1,00904636
1,010056549
1,010189286
0,01
2,72
1,010056549
1,01106775
1,01120062
x
a
y1
y2
tan α
0,99
2,72
2,692918532
2,6956145
2,695968745
0,991
2,72
2,6956145
2,698313168
2,698667768
0,992
2,72
2,698313168
2,701014538
2,701369492
0,993
2,72
2,701014538
2,703718612
2,704073921
0,994
2,72
2,703718612
2,706425393
2,706781058
0,995
2,72
2,706425393
2,709134884
2,709490905
0,996
2,72
2,709134884
2,711847087
2,712203465
0,997
2,72
2,711847087
2,714562006
2,71491874
0,998
2,72
2,714562006
2,717279643
2,717636734
0,999
2,72
2,717279643
2,72
2,720357449
1
2,72
2,72
2,722723081
2,723080888
podobne som urobil tabuľku pri a=2,71. Hodnota tan α je nižšia ako y2, ale tiež je rozdiel medzi hodnotami y2tan α je malý
x
a
y1
y2
tan α
0
2,71
1
1,000997446
0,997445753
0,001
2,71
1,000997446
1,001995886
0,998440651
0,002
2,71
1,001995886
1,002995323
0,999436542
0,003
2,71
1,002995323
1,003995756
1,000433426
0,004
2,71
1,003995756
1,004997188
1,001431304
0,005
2,71
1,004997188
1,005999618
1,002430177
0,006
2,71
1,005999618
1,007003048
1,003430047
0,007
2,71
1,007003048
1,008007479
1,004430914
0,008
2,71
1,008007479
1,009012912
1,005432779
0,009
2,71
1,009012912
1,010019347
1,006435644
0,01
2,71
1,010019347
1,011026787
1,007439509
x
a
y1
y2
tan α
0,99
2,71
2,68311692
2,685793183
2,676263578
0,991
2,71
2,685793183
2,688472116
2,678933005
0,992
2,71
2,688472116
2,691153722
2,681605096
0,993
2,71
2,691153722
2,693838001
2,684279851
0,994
2,71
2,693838001
2,696524959
2,686957275
0,995
2,71
2,696524959
2,699214596
2,689637369
0,996
2,71
2,699214596
2,701906916
2,692320136
0,997
2,71
2,701906916
2,704601922
2,69500558
0,998
2,71
2,704601922
2,707299615
2,697693701
0,999
2,71
2,707299615
2,71
2,700384505
1
2,71
2,71
2,712703078
2,703077992
Spresnil som tabuľky na 3 desatinné miesta a Δx=0,0001. Pre a=2,719 tan α je väčší ako y2. Už sú rozdiely medzi y2 a tan α veľmi malé
x
a
y1
y2
tan α
0
2,719
1
1,000100031
1,000314194
0,0001
2,719
1,000100031
1,000200073
1,000414257
0,0002
2,719
1,000200073
1,000300124
1,000514329
0,0003
2,719
1,000300124
1,000400186
1,000614412
0,0004
2,719
1,000400186
1,000500257
1,000714505
0,0005
2,719
1,000500257
1,000600339
1,000814608
0,0006
2,719
1,000600339
1,00070043
1,000914721
0,0007
2,719
1,00070043
1,000800532
1,001014844
0,0008
2,719
1,000800532
1,000900643
1,001114977
0,0009
2,719
1,000900643
1,001000765
1,00121512
1
2,719
2,719
2,719271985
2,719854293
x
a
y1
y2
tan α
0,999
2,719
2,716281641
2,716553355
2,71713508
0,9991
2,719
2,716553355
2,716825096
2,717406879
0,9992
2,719
2,716825096
2,717096864
2,717678705
0,9993
2,719
2,717096864
2,717368659
2,717950558
0,9994
2,719
2,717368659
2,717640481
2,718222439
0,9995
2,719
2,717640481
2,71791233
2,718494346
0,9996
2,719
2,71791233
2,718184207
2,718766281
0,9997
2,719
2,718184207
2,718456111
2,719038243
0,9998
2,719
2,718456111
2,718728042
2,719310233
0,9999
2,719
2,718728042
2,719
2,719582249
1
2,719
2,719
2,719271985
2,719854293
V tabuľkách pre a=2,718 je tan α menší ako y2. Ale tiež rozdiel medzi y2 a tan α je veľmi malý
x
a
y1
y2
tan α
0
2,718
1
1,000099995
0,999946307
0,0001
2,718
1,000099995
1,000199999
1,000046296
0,0002
2,718
1,000199999
1,000300014
1,000146296
0,0003
2,718
1,000300014
1,000400039
1,000246305
0,0004
2,718
1,000400039
1,000500073
1,000346324
0,0005
2,718
1,000500073
1,000600118
1,000446353
0,0006
2,718
1,000600118
1,000700172
1,000546393
0,0007
2,718
1,000700172
1,000800237
1,000646442
0,0008
2,718
1,000800237
1,000900312
1,000746501
0,0009
2,718
1,000900312
1,001000396
1,00084657
0,001
2,718
1,001000396
1,001100491
1,00094665
x
a
y1
y2
tan α
0,999
2,718
2,71528364
2,715555154
2,715137848
0,9991
2,718
2,715555154
2,715826695
2,715409348
0,9992
2,718
2,715826695
2,716098263
2,715680874
0,9993
2,718
2,716098263
2,716369858
2,715952427
0,9994
2,718
2,716369858
2,716641481
2,716224008
0,9995
2,718
2,716641481
2,71691313
2,716495616
0,9996
2,718
2,71691313
2,717184807
2,716767251
0,9997
2,718
2,717184807
2,717456511
2,717038913
0,9998
2,718
2,717456511
2,717728242
2,717310602
0,9999
2,718
2,717728242
2,718
2,717582319
1
2,718
2,718
2,718271785
2,717854062
Takto by sme mohly pokračovať donekonečna, našli by sme číslo medzi 2,719 a 2,718 kde Δx by bola najmenšia možná dx. Znamená to, že pomer Δy/Δx by bol pomerom diferenciálov dy/dx. Keď si predstavíme Δya Δx ako strany pravouhlých trojuholníkov na krivke, tak prepony pravouhlých trojuholníkov vytvárajú kostrbatú krivku. Čím bude strana Δxmenšia týmbude krivka plynulejšia. Pri elemente Δx=dy bude krivka plynulá a tan α sa bude rovnať ax. Znamená to, že tangens uhla dotyčnice kryvky sa rovná hodnote ax. Podľa grafu vidno, že v bode x=0 je uhol 45° tzn. tan α=1. Toto číslo sa nedá vypočítať, pretože je nedeliteľné a má nekonečne veľa desatinných miest. Vzorec Pre výpočet určil švajčiarský matematik Leonhard Euler, podľa neho je pomenované číslo eulerové číslo e. Jeho približná hodnota je e=2,71828182846. Viac o ňom napíšem v druhom blogu
Pokračujem v predchádzajúcich blogoch. Dúfam, že mi prepáčite, že nepíšem o politike. Pred vojnou v Nemecku bolo objavené štiepenie uránu. Po objavení kritického množstva, začali Nemeckí vedci zlúčení okolo Heisenberga uvažovať ako by sa dala využiť energia, ktorá sa uvoľní pri lavínovej reťazovej reakcii vo vojenskej oblasti. Uvedomovali si, že môžu vyrobiť [...]
Pokračujem v predchádzajúcom blogu o jadrových o využití jadrových síl. Keď dopadne na atóm uránu 235U neutrón s malou energiou, tak ho pohlti a vznikne izotop 236U. Jadro atómu 236U sa rozpadne na 2 jadrá ktoré majú menšiu atómovú hmotnosť a od seba odletia. Pri tom sa uvoľnia aj 2 alebo 3 neutróny s vyššou energiou. Predstavme si, že máme oproti sebe 2 rovnaké [...]
Do tejto prepolitizovanej doby chcem napísať blog ktorý je mimo diania okolo nás. Napíšem niečo z histórie fyziky. Jadrá atómov drží pokope tzv. silná jadrová sila. Je taká silná, že dokáže udržať pokope aj protóny medzi ktorými pôsobia veľmi silné elektrostatické odpudivé sily. Jadrová sila pôsobí len na veľmi malé vzdialenosti. Jadrá atómov sú preto veľmi [...]
@matstat3 Tiež som sa na to pýtal agentov ...
seat, ako môže niekto pracovať so zloženým ...
Niečo, čo súvisí s aplikovanou matematikou, ...
Očakávam, že sa ozve akýsi "čistý"... ...
Vždy je potrebné zodpovedať aj otázku, či ...
Celá debata | RSS tejto debaty