Niečo o hyperbole

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice. Rovnica kružnice je x2+y2=r2. r je polomer ktorý zviera uhol t z osou x. Keď r=1 tak môžeme napísať rovnicu cos2t+sin2t=1. Pre obsah kruhu ktorý má jednotkový polomer platí π12. Dĺžka násobkujednotkovej kružnice udáva veľkosť uhla t.Pre celú kružnicu platí 2π1. Z tohovyplýva, že hodnota plochý uhlu P v jednotkovej kružnicije t/2. Je to znázornené na obrázku dole.

Hyperbola má rovnicu x2– y2= a2. a je vzdialenosť hyperboly od priesečníku os x y. ak za a vložíme 1 podobne ako pri jednotkovej kružnici môžeme si podľa toho vyjadriť hyperbolický sínus a cosínus

p toho vzorca vychádzajú rovnice

Hyperbolický uhol nie je určený dĺžkou hyperboly ale plochou ktorá je vyšrafovaná na obrázku

Vysvetlím, prečo je to tak. Obsah S je x·y/2 – plocha hyperboly ohraničená bodmi V R T. Keď a=1 matematicky si to môžeme zapísať do vzorca

Po vypočítaní integrálu a odčítaní dostaneme výsledný vzorec

Keď za x vložíme cosh t dostaneme polovicu uhla t  podľa obrázku. Potom môžeme prepísať vzorec na

Z toho vyplýva, že z uhla t si môžeme odvodiť súčet hyperbolického sínusu a cosínusu, podľa vzťahu t=ln(et) =>et . Vzorec je

Ďalšou úpravou získame vzorec

Keď budeme uvažovať miesto t x dostaneme rovnice pre cosh xsinh x

Pre rozdiel druhých mocnín platia rovnice

Hyperbolický uhol t ktorý je odvodený z cosh si môžeme prepísať na rovnicu kde použijeme sinh podľa vzorca

Keď za cosh t  vložíme x  dostávame rovnicu,  kde t  sa bude rovnať inverznému hyperbolickému cosínusu cosh-1 x

Dole sú charakteristiky cosh x, hnedá krivka a cosh-1 x zelená krivka. Inverzná hodnota je zrkadlová

Keď za sinh t  vložíme x  platí rovnica pre inverzný hyperbolický sínus t=sinh-1x

Na charakteristike je fialová krivka sinh x a červená sinh-1x

Tieto funkcie sú v každom lepšom smartfone, ktorý obsahuje excel. Tieto funkcie zjednodušujú niektoré výpočty napr. ako som písal blogy o reťazovke. Budem rád keď si to aj niekto prečíta

Tento blog vysvetľuje niektoré pojmy z tohto blogu

Niečo o hyperbole II.

12.03.2025

V predchádzajúcom blogu https://aldebaran.blog.pravda.sk/2024/12/04/nieco-o-hyperbole/ som písal, že polovica hyperbolického uhla je určená plochou S Na vysvetlenie je potrebné odvodiť integrál, ktorý môžeme prepísať na neurčitý integrál pretože výsledok bude rovnaký Integrály pod odmocninou sa priamo nedajú vypočítať, preto ich musíme [...]

Balistické rakety

10.01.2025

V poslednom obdobý sa veľa hovorí o balistických raketách tak niečo o nich napíšem Prvá balistická raketa bola nemecká V 2. Vyletela kolmo, pomocou klapiek na krídlach a nasmerovaním ťahu nastavila sa na balistickú dráhu. Azimut sa nastavoval podľa rádiového lúča a sklon dráhy bol nastavený podľa gyroskopu. Tieto údaje spracoval analógový počítač [...]

Využitie jadrových síl III

13.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcich blogoch. Dúfam, že mi prepáčite, že nepíšem o politike. Pred vojnou v Nemecku bolo objavené štiepenie uránu. Po objavení kritického množstva, začali Nemeckí vedci zlúčení okolo Heisenberga uvažovať ako by sa dala využiť energia, ktorá sa uvoľní pri lavínovej reťazovej reakcii vo vojenskej oblasti. Uvedomovali si, že môžu vyrobiť [...]

Trzaskowski

Prehral o 370-tisíc hlasov. Trzaskowski podal protest proti výsledkom poľských volieb.

16.06.2025 23:13

Námestník ministra obrany zase poukázal na "drastický" a nárast počtu neplatných hlasov v okrskoch, kde Trzaskowski v prvom kole zvíťazil.

Boelter

Šokujúce zistenia o vrahovi politikov: Prestrojený za policajta obchádzal domy demokratov, jedného zachránila dovolenka

16.06.2025 22:48

Boelter si útoky dôkladne naplánoval: obete sledoval, robil si o nich poznámky, o ich príbuzných a o ich domoch a v noci útokov sa prezliekol za policajta.

Mariupol, Ukrajina

Východné krídlo NATO sa pripravuje na vojnu s Ruskom: nemocnice do podzemia, lekári sa učia na Ukrajine

16.06.2025 22:22

„Nie je otázkou, či (Rusko) zaútočí. Ide o to, kedy (tak urobí)," vyhlásil Ragnar Vaiknemets.

Nemecko životný štýl ľudia doprava

Bild: Mladý Slovák sa zranil, keď chcel naskočiť v Drážďanoch na nákladný vlak

16.06.2025 20:23

Zmäteného a zraneného Slováka objavila hliadka dnes o druhej hodine ráno.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 51
Celková čítanosť: 212598x
Priemerná čítanosť článkov: 4169x

Autor blogu

Kategórie