aldebaran.pravda.sme

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice.

Rovnica kružnice je x²+y²=r². r je polomer ktorý zviera uhol t z osou x. Keď r=1 tak môžeme napísať rovnicu cos²t+sin²t=1. Pre obsah kruhu ktorý má jednotkový polomer platí π1². Dĺžka násobkujednotkovej kružnice udáva veľkosť uhla t.Pre celú kružnicu platí 2π1. Z tohovyplýva, že hodnota plochý uhlu P v jednotkovej kružnicije t/2. Je to znázornené na obrázku dole.

Hyperbola má rovnicu x²– y²= a². a je vzdialenosť hyperboly od priesečníku os x y. ak za a vložíme 1 podobne ako pri jednotkovej kružnici môžeme si podľa toho vyjadriť hyperbolický sínus a cosínus

p toho vzorca vychádzajú rovnice

Hyperbolický uhol nie je určený dĺžkou hyperboly ale plochou ktorá je vyšrafovaná na obrázku

Vysvetlím, prečo je to tak. Obsah S je x·y/2 – plocha hyperboly ohraničená bodmi V R T. Keď a=1 matematicky si to môžeme zapísať do vzorca

Po vypočítaní integrálu a odčítaní dostaneme výsledný vzorec

Keď za x vložíme cosh t dostaneme polovicu uhla t  podľa obrázku. Potom môžeme prepísať vzorec na

Z toho vyplýva, že z uhla t si môžeme odvodiť súčet hyperbolického sínusu a cosínusu, podľa vzťahu t=ln(e^t) =>e^t . Vzorec je

Ďalšou úpravou získame vzorec

Keď budeme uvažovať miesto t x dostaneme rovnice pre cosh x a sinh x

Pre rozdiel druhých mocnín platia rovnice

Hyperbolický uhol t ktorý je odvodený z cosh si môžeme prepísať na rovnicu kde použijeme sinh podľa vzorca

Keď za cosh t  vložíme x  dostávame rovnicu,  kde t  sa bude rovnať inverznému hyperbolickému cosínusu cosh^-1 x

Dole sú charakteristiky cosh x, hnedá krivka a cosh^-1 x modrá krivka. Inverzná hodnota je zrkadlová

Keď za sinh t  vložíme x  platí rovnica pre inverzný hyperbolický sínus t=sinh^-1x

Na charakteristike je fialová krivka sinh x a červená sinh^-1x

Tieto funkcie sú v každom lepšom smartfone, ktorý obsahuje excel. Tieto funkcie zjednodušujú niektoré výpočty napr. ako som písal blogy o reťazovke. Budem rád keď si to aj niekto prečíta