Gravitácia

Nemecký astronóm Johannes Kepler medzi rokmi 1609 až 1619 objavil 3 základné zákony pohybov planét. 1. zákon hovorí „planéty sa pohybujú okolo Slnka po elipsách a Slnko je v ohnisku elipsy“, 2. zákon hovorí  „sprievodič (spojnica Slnka a planéty) opíše za rovnaký čas vždy rovnakú plochu“ a 3. zákon hovorí „pomery  druhých mocnín času obežných dôb dvoch planét  (T1)2/(T2)2  je rovnaký ako ich pomer tretích mocnín strednej vzdialenosti od Slnka, (polomer hlavnej osi elipsy  (a1)2/(a2)3. Kepler nemohol poznať vzdialenosti planét od Slnka, ale zvolil si za základ strednú vzdialenosť zeme od slnka. Je to jedna  astronomická jednotka 1AU. Pre ostatné planéty je vzdialenosť a násobok 1AU, to mohol odmerať. Za čas T si zvolil dobu za koľko pozemských dni planéta obehne okolo Slnka. Jeho teleskop bol veľmi nedokonalý, preto mu merania trvali tak dlho. Dole je obrázok dráhy dvoch planét, kde sú vyobrazené obežné dráhy a poloosi a1 a a2.

Z rovnice ktorá je na obrázku môžeme odvodiť konštantu C

Z tejto rovnice môžeme odvodi T2 podľa vzorca

Newton na základe Keplerovych zákonov si uvedomil, že jeho pohybové zákony sa dajú aplikovať aj na pohyby planét, Pretože medzi gravitáciou Slnka a planétami musia pôsobiť určité sily ktoré udržujú planéty vo svojich dráhach. Planéty obiehajú okolo Slnka po elipsách, kde Slnko je v ohnisku elipsy. Pôsobí na nich gravitačná sila Slnka. Aby sa planéty udržiavali vo svojich dráhach, tak musia mať určitú odstredivú silu, aby ich gravitácia Slnka nepritiahla. Sila vzniká keď má teleso nejaké zrýchlenie, alebo keď je rýchlosť konštantná ale teleso sa nepohybuje priamočiaro. Zrýchlenie planéty môžeme odvodiť z uhlovej rýchlosti telesa po kruhovej dráhe, kde namiesto vzdialenosti a použijeme vo vzorci vzdialenosť r. Budeme uvažovať, že planéty obiehajú rovnomernou rýchlosťou okolo stredu vo vzdialenosti r. Pri rovnomernej rýchlosti v prejde bod na dráhe s za čas t vzorec je v=s/v. keď je dráha rovná tak pri rovnomernej rýchlosti neexistuje zrýchlenie. ale keby sme otáčali nejakou hmotnosťou rovnomerne dookala tak bude na ňu pôsobiť odstredivá sila. Znamená to že pri rovnomernej kruhovej rýchlosti existuje zrýchlenie. Rovnomerná kruhová rýchlosť má vzorec vo=2πr/T. Dráha je s=2πr a T je doba otočenia. Konštantu C môžeme rozpísať podľa r. Zt oho nám vychádza vzorec

Z toho môžeme odvodiť vzorec pre dostredivé zrýchlenie zrýchlenie ad

Z toho vychádza, že teleso o hmotnosti m vo vzdialenosti ťažiska r má zýchlenie  k/r2 a vytvára odstredivú silu F=mk/r2. Slnko planétu priťahuje takou istou silou . Hmotnosť Slnka je M ale konštanta je . Z toho dostaneme rovnicu

Rovnica hovorí, vo vzdialenosti ťažisk r má planéta odstredivú silu F ale rovnakou silou F´  , priťahuje Slnko planétu vo vzdialenosti r. Pretože pomery hmotností s opačnými konštantami sú rovnaké, môžeme si odvodiť gravitačnú konštantu G podľa vzorca 

Aby sme vyradili konštanty k av rovnici pre rovnosť síl vynásobíme pravú stranu rovnice G2. Rozpísaním pre G2 dostávame vzorec

Vložením do rovnice dostaneme odvodenie vzorca pre silu

F je sila ktorou sa dve telesá priťahujú, G je gravitačná konštanta, M je väčšia hmotnosť telesa ktoré priťahuje, m je hmotnosť priťahovaného telesa a r je vzdialenosť ťažísk telies. Výsledný vzorec je

Z  hmotností a m a zrýchlenia ad=4π2/T2 si môžeme rozpísaním síl F=F´ si môžeme odvodiť rovnicu

Obrátením vzorca a vložením miesto r, a musíme hmotnosť M zväčšiť o hmotnosť planéty m. Z toho dostávame rovnicu

Z týchto rovníc keď poznáme hmotnosti M a m a vzdialenosť a môžeme vypočítať čas obehu planéty T. Keď budeme poznať a čas T a hmotnosť planéty bude zanedbateľná môžeme vypočítať hmotnosť M.

Niečo o hyperbole II.

12.03.2025

V predchádzajúcom blogu https://aldebaran.blog.pravda.sk/2024/12/04/nieco-o-hyperbole/ som písal, že polovica hyperbolického uhla je určená plochou S Na vysvetlenie je potrebné odvodiť integrál, ktorý môžeme prepísať na neurčitý integrál pretože výsledok bude rovnaký Integrály pod odmocninou sa priamo nedajú vypočítať, preto ich musíme [...]

Balistické rakety

10.01.2025

V poslednom obdobý sa veľa hovorí o balistických raketách tak niečo o nich napíšem Prvá balistická raketa bola nemecká V 2. Vyletela kolmo, pomocou klapiek na krídlach a nasmerovaním ťahu nastavila sa na balistickú dráhu. Azimut sa nastavoval podľa rádiového lúča a sklon dráhy bol nastavený podľa gyroskopu. Tieto údaje spracoval analógový počítač [...]

Niečo o hyperbole

04.12.2024

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice. Rovnica kružnice je x2+y2=r2. r je polomer ktorý zviera uhol t [...]

vojna na Ukrajine

ONLINE: Trump sa obrátil na Kyjev aj Moskvu, žiada o stretnutie

26.04.2025 06:00

Trump vyzval Ukrajinu a Rusko na stretnutie, dohoda je podľa neho veľmi blízko.

Putin, Trump

Rusko si z Ameriky uťahuje. Trump pred Putinom kapituloval, myslí si dánsky vojenský analytik

26.04.2025 06:00

Americký prezident Donald Trump v šéfovi Kremľa Vladimirovi Putinovi posilňuje pocit, že je na ceste k víťazstvu a že čas hrá v jeho prospech.

Vatikán pápež úmrtie telo vystavenie obrady bazilika

Ako bude vyzerať posledná rozlúčka s pápežom? Státisíce smútiacich, veľkolepá ceremónia a zákaz letov nad Rímom

26.04.2025 06:00

Napriek tomu, že František počas pontifikátu presadzoval jednoduchosť, ceremónia bude veľkolepá

Augustinián Pavol Benedik, pápež Benedikt XVI.

Slovák, ktorý slúžil pápežom: Mal som blízky vzťah k Benediktovi aj Františkovi. Ak by nebolo Jána Pavla II., vo Vatikáne by som nepracoval

26.04.2025 05:20

O tom, ako vyzerala práca strážcu vatikánskeho pokladu a pápežského sakristiána hovoril v rozhovore pre Pravdu.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 51
Celková čítanosť: 206553x
Priemerná čítanosť článkov: 4050x

Autor blogu

Kategórie