aldebaran.pravda.sme

Tento článok je pokračovanie článkov o matematike z oblasti derivácii a integrálov. Aj keď téma je z elektrotechniky, tak na konkrétnom prípade sa dá  veľmi dobre demonštrovať použitie derivácii a integrálov. Dole je nakreslený obrázok tzv. RC obvodu. Myslím, že mnoho čitateľov pracuje v oblasti elektrotechniky a rozumie tomuto obvodu. Vo vypočte okamžitých  hodnôt v RC alebo RL sa počíta s časovou konštantou τ v člene (e^-t/τ). Pokúsim  sa to vysvetliť v blogu ako sme na ten vzorec prišli.   .R je odpor, C je kondenzátor, prepínač slúži na prepínanie režimu vybíjania a nabíjania kondenzátora a U je jednosmerný zdroj napätia. Keď kondenzátor  pripojíme na jednosmerné napätie sa nabije na napätie zdroja. Ale to nabíjanie neprebieha okamžite, ale po určitej dobe, teoreticky až za nekonečne dlhú dobu, vždy tam bude nejaký odpor. keby sme počítali nulový odpor, muselo všetko s matriálu korý má nulový odpor ale aj odpor zdroja by musel byť nulový tzn. zdroj by musel mať nekonečne veľký výkon. Keď budeme nabíjať kondenzátor cez odpor bude sa nabíjať tým dlhšie čím bude odpor a kapacita väčšia. Na obrázku sú znázornené úbytky napätia na odpore u_R na kondenzátore u_C a napätie zdroja U. Pre súčet napätí v obvode môžeme napísať rovnicu, s ktorej môžeme úbytok napätia na odpore u_R.

Po určitom čase sa napätie na kondenzátore u_C bude rovnať napätiu U, tým pádom prestane tiecť prúd pretože nie je spád napätia. Napätie na kondenzátore u_C závislé na náboji v kondenzátore q_C a nepriamo závislé na kapacite kondenzátora C. Súčin kapacity kondenzátora C a celkového napätia zdroja U je maximálny náboj na kondenzátore Q. pomer elementárnych zmien elektrického náboja na dq čase dt je okamžitý prúd i. Keď sa bude kondenzátor vybíjať cez odpor tak napätie bude na kondenzátore klesať  u_C =-dq_C /C. Elementárna zmena dq_C je záporná, pretože náboj na kondenzátore klesá. Z toho dostávame rovnicu

Vydelením druhej rovnice R a dq_C a vynásobením dt  dostaneme rovnicu z ktorej môžeme odvodiť diferenciálnu rovnicu podľa vzorca

pretože náboj sa zmenšuje musíme rovnicu integrovať. Integrujeme podľa vzorcov integrálov

integrovaním tejto rovnice získame vzorec

k je počiatočná podmienka, je to maximálny náboj na kondenzátore ktorý musíme napísať ako logaritmus k=ln(UC)=lnQ. Po prevedením konštanty na druhú stranu dostaneme rovnicu

Odčítanie logaritmov je delenie a z tejto rovnice môžeme odstrániť logaritmus ln podľa vzorca

Člen RC sa nazíva časová konštanta a značí sa písmenom tau τ. Takto sme prišli k členu (e^-t/τ). Z toho dostaneme výsledný vzorec pre okamžitý náboj q_C v kondenzátore pri vybíjaní v čase t

Náboj bude v kondenzátore časom pri vybíjaní klesať, tým pádom bude klesať aj napätie na kondenzátore u_C. Vzorce sú

Keď budeme uvažovať, že na kondenzátore môže byť najväčšie napätie U, tak maximálny prúd bude daný pomerom U/R. Z toho dostaneme vzorec pre okamžitý prúd i

Časová konštanta má rozmer sekundy,  dá sa odvodiť z rovnice τ=RC. Odvodíme náboj a prúd z kapacity a odporu podľa vzorcov

Vložením do vzorca a vykrátením dostaneme čas t ktorý sa udáva v sekundách.Pri nabíjaní napätie v závislosti na čase stúpa, ale hodnota v člene (e^-t/τ) klesá postupne až na nulu. Náboj na kondenzátore sa bude nabíjať teoreticky až do nekonečna, ale v praxi je to vtedy, keď meracie prístroje nedokážu zmerať výchylku.  kondenzátora dostaneme napätie. Rovnicu pre okamžité napätie na kondenzátore u_C má upravený vzorec

V odvodení je použitý integrál, kde jeho výsledok je prirodzený logaritmus ln. Integrovaním derivácie dostaneme pôvodnú funkciu.Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii podľa grafu

Pri exponenciálnej funkcii je na osi x exponent x a na osi y je výsledok y=e^x. Pokúsim sa vysvetiť ako sme k tomu vzorcu prišl. Integrál logaritmu má vzorecKeby  sme použili odvodenie pre exponenciálne funkcie tak výsledok by bol stále x^(-1+1)/(/-1+1)=x⁰/0=>x⁰=1/0 výsledok bude stále nekonečno. Vzťahy medzi exponenciálnou a logaritmickou funkciou majú vzorce

Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej tzn. pri exponenciálnej hodnote uhly dotyčnice stúpajú a pri logaritme pri stúpajúcej hodnote uhly dotyčníc klesajú. Číselné vyjadrenie derivácie je tangens uhla dotyčnice. Graf pre deriváciu logaritmu je na obrázku, kde je vidno, že pri stúpaní hodnoty sa uhol dotyčnice narovnáva s osou x.

Z toho vyplýva, že keď derivácia e^x. sa rovná e^x, tak obrátená hodnota derivácie bude derivácia logaritmu podľa vzorca

integrovaním derivácie dostaneme pôvodnú funkciu podľa vzorca

je jedno či tam bude označené písmeno x alebo y, mne sa tak ľahšie vysvetlilo podľa y.

Vrátim sa ešte k prechodovýn javom. Opačný pomer prúdov na čase ako pri kapacite je na indukčnosti. Indukčnosť je určuje pomer magnetického toku na prúde ktorý ho vytvoril na určitej časti dráhy prúdu napr. vedenie, alebo cievka. Dole je nakreslený sériový obvod RL. R je činný odpor, L je indukčnosť, zdroj jednosmerného napätia U a prepínač v čase t=0. Indukčnosť závisí od parametrov cievky alebo vodiča, je konštantná. Pri pripojení jednosmerného napätia do obvodu s indukčnosťou nastane veľká zmena prúdu. Táto zmena naindukuje do vodičov prúdu opačné premenlivé napätie. To napätie má opačnú hodnotu ako napätie zdroja, je to tzv. indukované napätie u_i. Indukované napätie je najvyššie hneď na začiatku.

Indukčnosť môžeme odvodiť z indukovaného napätia u_i, podľa vzorca.

Napätie na odpore u_R je odvodené od okamžitého prúdu i. Napätie na cievke je indukované napätie u_i. Indukované napätie vznikne iba vtedy keď sa zmení prúd v obvode napr. vypnutím vypínača. Indukované napätie má opačné znamienko ako napájacie napätie U. Z toho si môžeme odvodiť súčet napätí podľa vzorca

Keď vydelíme napätia odporom, dostaneme prúd.

Maximálny prúd je I=U/R. Prúd ktorý je vytvorený indukčným napätím má opačné má opačný smer pretože indukčné napätie pôsobí opačne.

Pomer L/R je podobne ako pri kapacite časová konštanta τ. Rozmer časovej konštanty pre indukčnosť si môžeme odvodiť podľa rozmeru indukčnosti. Vzorec je

Podľa vzorcov pri kapacite si môžeme odvodiť okamžité hodnoty v RL obvode, pretože keď máme časovú konštantu môžeme ju vpísať do exponentu (e^-τ/t) podobne ako v RC obvode.

Odvodením podľa člena  (e^-τ/t) dostaneme vzorec pre okamžitý prúd

Maximálny prúd je I=U/R sa ustáli po určitom čase, teoreticky by to bolo v nekonečne ale prakticky je to v dobe keď  τ/t=1.

Pri vypínaní tiež dochádza k veľkej zmene prúdu. Indukované napätie má zápornú hodnotu a môže byť veľmi vysoké, pretože keď je t veľmi malé tak súčiniteľ (e^-τ/t) je vysoký. Preto indukčné obvody s jednosmerným zdrojom majú veľké problémy pri zapínaní a vypínaní. vzorec pre indukčné napätie je

Na príkladoch z fyziky sa dá najlepšie vysvetliť vyššia matematika. V ďalších blogoch z fyzky odvodím ďalšie postupy s integrálmi a deriváciami.