Založ si blog

Prechodové javy v elektrotechnike

Tento článok je pokračovanie článkov o matematike z oblasti derivácii a integrálov. Aj keď téma je z elektrotechniky, tak na konkrétnom prípade sa dá  veľmi dobre demonštrovať použitie derivácii a integrálov. Dole je nakreslený obrázok tzv. RC obvodu. Myslím, že mnoho čitateľov pracuje v oblasti elektrotechniky a rozumie tomuto obvodu. Vo vypočte okamžitých  hodnôt v RC alebo RL sa počíta s časovou konštantou τ v člene (e-t/τ). Pokúsim  sa to vysvetliť v blogu ako sme na ten vzorec prišli.   .R je odpor, C je kondenzátor, prepínač slúži na prepínanie režimu vybíjania a nabíjania kondenzátora a U je jednosmerný zdroj napätia. Keď kondenzátor  pripojíme na jednosmerné napätie sa nabije na napätie zdroja. Ale to nabíjanie neprebieha okamžite, ale po určitej dobe, teoreticky až za nekonečne dlhú dobu, vždy tam bude nejaký odpor. keby sme počítali nulový odpor, muselo všetko s matriálu korý má nulový odpor ale aj odpor zdroja by musel byť nulový tzn. zdroj by musel mať nekonečne veýľk výkon. Keď budeme nabíjať kondenzátor cez odpor bude sa nabíjať tým dlhšie čím bude odpor a kapacita väčšia. Na obrázku sú znázornené úbytky napätia na odpore uR na kondenzátore uC a napätie zdroja U. Pre súčet napätí v obvode môžeme napísať rovnicu, s ktorej môžeme úbytok napätia na odpore uR. Po určitom čase sa napätie na kondenzátore uC bude rovnať napätiu U, tým pádom prestane tiecť prúd pretože nie je spád napätia. Napätie na kondenzátore uC závislé na náboji v kondenzátore qC a nepriamo závislé na kapacite kondenzátora C. Súčin kapacity kondenzátora C a celkového napätia zdroja U je maximálny náboj na kondenzátore Q. pomer elementárnych zmien elektrického náboja na dq čase dt je okamžitý prúd i. Keď sa bude kondenzátor vybíjať cez odpor tak napätie bude na kondenzátore klesať  uC =-dqC /C. Elementárna zmena dqC je záporná, pretože náboj na kondenzátore klesá. Z toho dostávame rovnicu

Vydelením druhej rovnice R a dqC a vynásobením dt  dostaneme rovnicu z ktorej môžeme odvodiť diferenciálnu rovnicu podľa vzorca

pretože náboj sa zmenšuje musíme rovnicu integrovať. Integrujeme podľa vzorcov integrálov

integrovaním tejto rovnice získame vzorec

 

k je počiatočná podmienka, je to maximálny náboj na kondenzátore ktorý musíme napísať ako logaritmus k=ln(UC)=lnQ. Po prevedením konštanty na druhú stranu dostaneme rovnicu

odčítanie logaritmov je delenie dostávame vzorec

z tejto rovnice môžeme odstrániť logaritmus ln podľa vzorca

Člen RC sa nazíva časová konštanta a značí sa písmenom tau τ. Takto sme prišli k členu (e-t/τ). Z toho dostaneme výsledný vzorec pre okažitý náboj qC v kondenzátore pri vybíjaní v čase t

Náboj bude v kondenzátore časom pri vybíjaní klesať, tým pádom bude klesať aj napätie na kondenzátore uC. Vzorce sú

Keď budeme uvažovať, že na kondenzátore môže byť najväčšie napätie U, tak maximálny prúd bude daný pomerom U/R. Z toho dostaneme vzorec pre okamžitý prúd i

Časová konštanta má rozmer sekundy,  dá sa odvodiť z rovnice τ=RC. Odvodíme náboj a prúd z kapacity a odporu podľa vzorcov

Vložením do vzorca a vykrátením dostaneme čas t ktorý sa udáva v sekundách.Pri nabíjaní napätie v závislosti na čase stúpa, ale hodnota v člene (e-t/τ) klesá postupne až na nulu. Náboj na kondenzátore sa bude nabíjať teoreticky až do nekonečna, ale v praxi je to vtedy, keď meracie prístroje nedokážu zmerať výchylku.  kondenzátora dostaneme napätie. Rovnicu pre okamžité napätie na kondenzátore uC má upravený vzorec

V odvodení je použitý integrál, kde jeho výsledok je prirodzený logaritmus ln. Integrovaním derivácie dostaneme pôvodnú funkciu.Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii podľa grafu

Pri exponenciálnej funkcii je na osi x exponent x a na osi y je výsledok y=ex. Pokúsim sa vysvetiť ako sme k tomu vzorcu prišl. Integrál logaritmu má vzorecKeby  sme použili odvodenie pre exponenciálne funkcie tak výsledok by bol stále x(-1+1)/(/-1+1)=x0/0=>x0=1/0 výsledok bude stále nekonečno. Vzťahy medzi exponenciálnou a logaritmickou funkciou majú vzorce

Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej tzn. pri exponenciálnej hodnote uhly dotyčnice stúpajú a pri logaritme pri stúpajúcej hodnote uhly dotyčníc klesajú. Číselné vyjadrenie derivácie je tangens uhla dotyčnice. Graf pre deriváciu logaritmu je na obrázku, kde je vidno, že pri stúpaní hodnoty sa uhol dotyčnice narovnáva s osou x.

Z toho vyplýva, že keď derivácia ex. sa rovná ex, tak obrátená hodnota derivácie bude derivácia logaritmu podľa vzorca

integrovaním derivácie dostaneme pôvodnú funkciu podľa vzorca

je jedno či tam bude označené písmeno x alebo y, mne sa tak ľahšie vysvetlilo podľa y.

Vrátim sa ešte k prechodovýn javom. Opačný pomer prúdov na čase ako pri kapacite je na indukčnosti. Indukčnosť je určuje pomer magnetického toku na prúde ktorý ho vytvoril na určitej časti dráhy prúdu napr. vedenie, alebo cievka. Dole je nakreslený sériový obvod RL. R je činný odpor, L je indukčnosť, zdroj jednosmerného napätia U a prepínač v čase t=0.Pri pripojení jednosmerného napätia do obvodu s indukčnosťou nastane veľká zmena prúdu. Táto zmena naindukuje do vodičov prúdu opačné premenlivé napätie. To napätie má opačnú hodnotu ako napätie zdroja, je to tzv. indukované napätie ui. Indukované napätie je najvyššie hneď na začiatku.

Indukčnosť môžeme odvodiť z indukovaného napätia ui, podľa vzorca.

Z toho vzorca môžeme odvodiť indukované napätie ui a napätie na odpore uR v obvode RL. s indukčnosťou kde do série je zapojený odpor. Keďže napätie na indukčnosti pôsobí opačne, musíme si vzorec pre napätia upraviť podľa vzoruKeď vydelíme napätia odporom, dostaneme prúd. Maximálny prúd je I=U/R. Prúd ktorý je vytvorený indukčným napätím má opačné znamienko, pretože indukčné napätie pôsobí opačne.

L/R je časová konštanta. Časovú konštantu musíme v exponente prispôsobiť podľa vzorca

Časová konštanta má tiež rozmer sekundy podľa vzorca

Odvodením podľa člena  (e-τ/t) dostaneme vzorec pre okamžitý prúd

Maximálny prúd je I=U/R sa ustáli po určitom čase, teoreticky by to bolo v nekonečne ale prakticky je to v dobe keď  τ/t=1.

Pri vypínaní tiež dochádza k veľkej zmene prúdu. Indukované napätie má zápornú hodnotu a môže byť veľmi vysoké, pretože keď je t veľmi malé tak súčiniteľ (e-τ/t) je vysoký. Preto indukčné obvody s jednosmerným zdrojom majú veľké problémy pri zapínaní a vypínaní. vzorec pre indukčné napätie je

Na príkladoch z fyziky sa dá najlepšie vysvetliť vyššia matematika. V ďalších blogoch z fyzky odvodím ďalšie postupy s integrálmi a deriváciami.

Využitie jadrových síl III

13.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcich blogoch. Dúfam, že mi prepáčite, že nepíšem o politike. Pred vojnou v Nemecku bolo objavené štiepenie uránu. Po objavení kritického množstva, začali Nemeckí vedci zlúčení okolo Heisenberga uvažovať ako by sa dala využiť energia, ktorá sa uvoľní pri lavínovej reťazovej reakcii vo vojenskej oblasti. Uvedomovali si, že môžu vyrobiť [...]

Využitie jadrových síl II

08.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcom blogu o jadrových o využití jadrových síl. Keď dopadne na atóm uránu 235U neutrón s malou energiou, tak ho pohlti a vznikne izotop 236U. Jadro atómu 236U sa rozpadne na 2 jadrá ktoré majú menšiu atómovú hmotnosť a od seba odletia. Pri tom sa uvoľnia aj 2 alebo 3 neutróny s vyššou energiou. Predstavme si, že máme oproti sebe 2 rovnaké [...]

Využitie jadrových síl

01.11.2023

Do tejto prepolitizovanej doby chcem napísať blog ktorý je mimo diania okolo nás. Napíšem niečo z histórie fyziky. Jadrá atómov drží pokope tzv. silná jadrová sila. Je taká silná, že dokáže udržať pokope aj protóny medzi ktorými pôsobia veľmi silné elektrostatické odpudivé sily. Jadrová sila pôsobí len na veľmi malé vzdialenosti. Jadrá atómov sú preto veľmi [...]

putin, kim

Putin podal Kimovi pomocnú ruku: Zablokoval dohľad OSN nad sankciami voči KĽDR

28.03.2024 22:10

Kroky Ruska podľa hovorcu amerického ministerstva zahraničných vecí Matthewa Millera "cynicky oslabujú" medzinárodný mier

Juraj Blanár

Blanár: Vstup do NATO bol významný krok, potvrdzujúci váhu aj dnes

28.03.2024 21:53

Aliancia je predovšetkým obranná a mierová organizácia, zdôraznil minister.

Izrael Palestína Hamas Vojna humanitárna pomoc

Súdny dvor nariadil Izraelu, aby nebránil humanitárnej pomoci smerujúcej do Gazy

28.03.2024 21:38

Hlavný súdny orgán OSN reagoval na podnety Juhoafrickej republiky. Tá obvinila Izrael z genocídy.

Tragická nehoda slovenského autobusu v Chorvátsku.

Autobus v JAR sa zrútil z mosta, zahynulo 45 cestujúcich

28.03.2024 21:15

Nehodu prežilo len osemročné dieťa, ktoré záchranári previezli s vážnymi zraneniami do nemocnice.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 50
Celková čítanosť: 168840x
Priemerná čítanosť článkov: 3377x

Autor blogu

Kategórie