Niečo o hyperbole

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice. Rovnica kružnice je x2+y2=r2. r je polomer ktorý zviera uhol t z osou x. Keď r=1 tak môžeme napísať rovnicu cos2t+sin2t=1. Pre obsah kruhu ktorý má jednotkový polomer platí π12. Dĺžka násobkujednotkovej kružnice udáva veľkosť uhla t.Pre celú kružnicu platí 2π1. Z tohovyplýva, že hodnota plochý uhlu P v jednotkovej kružnicije t/2. Je to znázornené na obrázku dole.

Hyperbola má rovnicu x2– y2= a2. a je vzdialenosť hyperboly od priesečníku os x y. ak za a vložíme 1 podobne ako pri jednotkovej kružnici môžeme si podľa toho vyjadriť hyperbolický sínus a cosínus

p toho vzorca vychádzajú rovnice

Hyperbolický uhol nie je určený dĺžkou hyperboly ale plochou ktorá je vyšrafovaná na obrázku

Vysvetlím, prečo je to tak. Obsah S je x·y/2 – plocha hyperboly ohraničená bodmi V R T. Keď a=1 matematicky si to môžeme zapísať do vzorca

Integrál má dosť zložité odvodenie, nabudúce napíšem blog o odvodení tohto integrálu. Po vypočítaní integrálu a odčítaní dostaneme výsledný vzorec kde je prirodzený logaritmus. Zátvorka v logaritme sa píše ako absolútna hodnota, pretože logaritmus nemôže byť záporný.

dvojnásobok plochy S nám udáva hyperbolický uhol t. Z toho si môžeme odvodiť vzorec

Keď za t označíme x a umocníme dostaneme vzorce

Rozdiel druhých mocnín je 1 podľa rovnice

Z toho vychádzajú vzorce pre hyperbolický kosínus a hyperbolický sínus

Z toho vyplýva, že z uhla t si môžeme odvodiť súčet hyperbolického sínusu a cosínusu, vzorec je

Hyperbolický uhol t ktorý je odvodený z cosh si môžeme prepísať na rovnicu kde použijeme sinh podľa vzorca

Keď za cosh t  vložíme x  dostávame rovnicu,  kde t  sa bude rovnať inverznému hyperbolickému cosínusu cosh-1 x

Dole sú charakteristiky cosh x, hnedá krivka a cosh-1 x zelená krivka. Inverzná hodnota je zrkadlová

Keď za sinh t  vložíme x  platí rovnica pre inverzný hyperbolický sínus t=sinh-1x

Na charakteristike je fialová krivka sinh x a červená sinh-1x

Tieto funkcie sú v každom lepšom smartfone, ktorý obsahuje excel. Tieto funkcie zjednodušujú niektoré výpočty napr. ako som písal blogy o reťazovke. Budem rád keď si to aj niekto prečíta

Tento blog vysvetľuje niektoré pojmy z tohto blogu

Niečo o hyperbole II.

12.03.2025

V predchádzajúcom blogu https://aldebaran.blog.pravda.sk/2024/12/04/nieco-o-hyperbole/ som písal, že polovica hyperbolického uhla je určená plochou S Na vysvetlenie je potrebné odvodiť integrál, ktorý môžeme prepísať na neurčitý integrál pretože výsledok bude rovnaký Integrály pod odmocninou sa priamo nedajú vypočítať, preto ich musíme [...]

Balistické rakety

10.01.2025

V poslednom obdobý sa veľa hovorí o balistických raketách tak niečo o nich napíšem Prvá balistická raketa bola nemecká V 2. Vyletela kolmo, pomocou klapiek na krídlach a nasmerovaním ťahu nastavila sa na balistickú dráhu. Azimut sa nastavoval podľa rádiového lúča a sklon dráhy bol nastavený podľa gyroskopu. Tieto údaje spracoval analógový počítač [...]

Využitie jadrových síl III

13.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcich blogoch. Dúfam, že mi prepáčite, že nepíšem o politike. Pred vojnou v Nemecku bolo objavené štiepenie uránu. Po objavení kritického množstva, začali Nemeckí vedci zlúčení okolo Heisenberga uvažovať ako by sa dala využiť energia, ktorá sa uvoľní pri lavínovej reťazovej reakcii vo vojenskej oblasti. Uvedomovali si, že môžu vyrobiť [...]

Robert Fico, TB

Fico: Je potrebná strategická dohoda medzi mocnosťami a nové pravidlá

23.09.2025 21:27

Premiér vystúpil s príhovorom pri príležitosti otvorenia nového akademického roka Prešovskej univerzity.

PREZIDENT: Vymenoval profesorov vysokých škôl

Pellegrini: Východná hranica NATO musí byť chránená bez ohľadu na krajinu

23.09.2025 21:07

Slovensko by malo byť vylúčené z rokovaní o vybudovaní takzvaného „múru proti dronom“ pozdĺž východnej hranice EÚ.

trump, zelenskyj

Trump sa stretol so Zelenským: Krajiny NATO by mali ruské lietadlá vo svojom vzdušnom priestore zostreliť

23.09.2025 20:55

Podľa Trumpa bude podpora Spojených štátov členským krajinám NATO pri takomto kroku závisieť od konkrétnych okolností.

parlament, nrsr

Zostanú rusínske Vianoce a sviatok Troch kráľov voľným dňom? V parlamente je pozmeňovací návrh

23.09.2025 20:35

Obmedzenie dní pracovného pokoja je súčasťou konsolidačného balíčka.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 51
Celková čítanosť: 224062x
Priemerná čítanosť článkov: 4393x

Autor blogu

Kategórie