Založ si blog

Odvodenie reťazovky

Skúsim do tejto prepolitizovanej doby napísať článok apolitický. Dokončím reakciu na článok ktorý písal Stan 021.

Pôvodne som nechcel ďalej písať o reťazovke ale predsa ten predchadzajúci blog bol trochu nedokonalý. Obával som sa že keď použijem integrály tak málo kto tomu bude rozumieť. Ale myslím si, stačí odvodiť polopatisticky pôsobenie síl a napísať čo vlastne počítame integrálom. Začnem popisom grafu ktorý opisuje pôsobenie síl na reťazovke. Na grafe sú znázornené 3 sily. λgs , T0 a výsledná sila T. Sila λgs je vlastne váha reťazovky medzi bodmi c a r. λ je element reťaze, g je gravitačné zrýchlenie a s je dĺžka reťaze medzi bodmi c a r. Táto sila pôsobí kolmo dole. Sila λgs pôsobí v súbežne s osou y. Hodnota na osi y je výška stĺpca reťazovky. Znamená to, že zmena sily  Δλgs bude úmerná zmene výšky stĺpca Δy. Môžeme napísať vzorecSilu T0 si môžeme predstaviť ako silu ktorá ťahá stredný element reťaze do jednej strany. Sila T0 je kolmá na silu resp. váhu reťazovky λgs. Sila T0 je súbežná s osou x. Hodnota na osi x predstavuje vzdialenosť medzi stĺpom a stredom reťazovky. Môžeme ju rozpísať podobne podľa elementu reťaze a gravitačného zrýchlenia, ale za vzdialenosť určíme určitý parameter a ktorý bude spoločný pre výpočty všetkých rozmerov reťazovky. Parameter aj určuje zaoblenie reťazovky, znamená to, že výška najnižšieho bodu reťazovky môže byť hocijaká ale parameter bude iba jeden resp. tvar reťazovky môže byť rovnaký v rôznej výške stĺpca. Môžeme uvažovať o ňom ako o základnej vzdialenosti najmenšieho bodu reťazovky od zeme. Tak isto zmena sily ΔT0 bude úmerná zmene polovičnej vzdialenosti medzi stĺpami Δx, podľa vzorca

Tieto dve sily sú na seba kolmé a výslednica síl pôsobí na jednom stĺpe. je vlastne prepona pravouhlého trojuholníka. Zmenu výslednej sily ΔT si môžeme predstaviť ako zmenu vzdialenosti na reťazy Δs.

Keď zmeny síl dáme do pomeru tak Δλg sa vykráti. Z pomeru zmeny sily Δa ΔT0 odvodíme pomer Δs na Δpodľa vzorca
Keď budeme uvažovať, že zmena Δs sa bude blížiť k nule, tak aj zmena Δx sa bude blížiť nule. Pomer zmien ale ostáva rovnaký. Pomer elementárnych zmien je pomer diferenciálov Δs/Δx=ds/dx Z toho pomeru sa dajú odvodiť rovnice pre diferenciály.ds a dx.

Vynásobením rovnice dx dostaneme diferenciál ds

Opačne vydelením odmocniny a násobením parametra dostaneme diferenciál dx

Pre výpočet x musíme všetky dx spočítať, integrovať. Integrácia je v podstate násobenie derivácie. Počíta sa opačne ako derivácia. Tento integrál je dosť zložitý. V minulom blogu som načrtol odvodenie  výsledku tohto integrálu, ale nie odvodenie integrálu.

1dx je  x. Pravú stranu rovnice integrujeme podľa vzorcaZ toho je odvodený výsledný vzorec pre polovicu vzdialenosti stĺpcov x Takto sme odvodili polovičnú vzdialenosť reťazovky medzi stĺpami x. Zápis sinh-1  je inverzný hyperbolický sínus, niekedy sa označuje ako argument hyperbolického sínusu argsinh. Z tejto rovnice môžeme odvodiť polovičnú dĺžku reťaze s.   sinh-1 si môžeme predstaviť ako zlomok 1/sinh. Z toho môžeme vyjadriť s podľa vzorca

Rozpísaním vzorca pre polovičnú vzdialenosť medzi stĺpami dostaneme vzorec pre polovičnú dĺžku reťaze s.

Pre výpočet výšky stĺpca potrebujeme odvodiť diferenciál  dy. Odvodí sa z pomeru zmeny váhy reťaze Δλgs a zmeny výslednej sily ΔT. Vzorec jePre elementárne zmeny, pomery diferenciálov, dosadíme rovnicu pre diferenciál ds
Po vložení sa diferenciál ds sa odmocnina a násobok a vykráti ostane vzorec

Vložením za dĺžku reťaze s dostaneme konečný diferenciál dy

Integujeme podľa vzorca

Integráciou tohto diferenciálu dostaneme výšku stĺpca y

.

Pri výpočte reťazovky najčastejšie sa stretávame tam, kde máme určenú najmenšíu vzdialenosť od zeme a vzdialenosť stĺpcov. pokiaľ je najnižší bod v strede a stĺpy budú v rovine, za parameter a si zvolíme vzdialenosť reťazovky od zeme. Hodnota x je polovičná vzdialenosť stĺpcov. Ľahko môžeme vypočítať podľa vzorcov dĺžku reťaze a výšku stĺpca, pretože poznáme pomer a/x. Pokiaľ chceme vypočítať previs, resp výšku od zeme a máme všetky tri rozmery, tak parameter si odvodíme s rovnice pre výpočet x.

Parameter sa nedá obyčajne vypočítať. musíme rátať parametrickú rovnicu tak, že s poznáme a za a budeme dosadzovať čísla až kým rozmer x bude mať dostatočnú presnosť. Je na to viac spôsobov, ja som v prvom blogu o reťazovke jeden opísal

Parameter dosadíme do rovnice pre výpočet výšky stĺpca

odpočítame y zo skutočnej výšky stĺpca yz a dostaneme predlženie stĺpca p. Predlženie stĺpca môže byť i záporné, vtedy je stĺpec nižší ako vypočítaný,

predlženie + parameter nám udáva skutočnú najmenšiu vzdialenosť reťazovky od zeme ay

Najťažší príklad je keď nepoznáme hodnotu x a máme výšku reťaze od zeme hodnotu ay udanú. Tento príklad som počítal v prvom blogu o reťazovke.  Parameter a si určíme so vzorca

Vyjadrený parameter a vložíme do vzťahu pre výpočet polovice vzdialenosti stĺpcovTento príklad som počítal v prvom blogu o reťazovke kde som vypočítal konkrétnu hodnotu. Zistiť parameter a je dnes najľahšie vytvorením algoritmu v exceli pre danú rovnicu. Ja som písal v prvom blogu ako som vytvoril algoritmus na exceli. Okrem počítača aj smartfóny obsahujú excel, takže to nie je problém. Problém by bol keby niekto nevedel pracovať na exceli.

Z týchto vzorcov si môžeme prepočítať každú hodnotu, pretože vždy máme určené hodnoty, ktoré potrebujeme do výpočtu. Vzorce sú určené pre reťazovku, ktorá je symetrická.

Vytvorenie umelého Slnka na Zemi

22.02.2022

Pred časom prebehli správy o tom, že sa podarilo udržať plazmu na čínskom tokamaku EAST ktorá mala 170 miliónov °C až po dobu až 1018 s a tomamak JET produkoval výkon plazmy 56 MW za dobu 5 s. Čo je vlastne tokamak sa pokúsim opísať v tomto blogu. Každý vie, že existujú atómové, jadrové reaktory a vodíkové termojadrové bomby. Z jadrového reaktora [...]

Obvod elipsy

19.07.2021

Trochu neskoro reagujem na článok o elipse, ktorý písal pán Bednár. V jeho blogu je uvedené, že veľkosť obvodu elipsy sa nedá vypočítať. Skutočne je to pravda, skúsim to vysvetliť. Keď uvážime fakt, že π má nekonečne veľa číslic za desatinnou čiarkou tak ani veľkosť kružnice sa presne nedá vypočítať. Najprv vysvetlím niečo o elipse. Elipsa je v podstate [...]

Nekonečno v guli

18.01.2021

Chcem napísať blog o Schrodingerových vlnových funkciách. Pri nich je potrebné vedieť niečo o sférických súradniciach. Sférické súradnice vychádzajú v podstate z rovnice gule. Našiel som jedno zaujímavé video o objeme guli. Chcel by som to jednoduchšie popísať a doplniť. V škole sme sa učili, že objem gule je 4/3∙πr3. Tento vzorec sa dá pomerne ľahko odvodiť [...]

Evakuácia školy Senica

Poslanec strašil na sociálnej sieti. Polícia: Nešírte paniku, na Slovensku nemáme moslimského teroristu

26.11.2022 16:31

Polícia vystríha pred šírením dezinformácií, ktorých cieľom je vyvolať paniku, nenávisť a informačný chaos.

LOZ, Peter Visolajský,

Maratón rokovaní pokračuje, lekári trvajú na zvyšovaní platov. Visolajský: Matovičove nápady prinášajú negatívne emócie

26.11.2022 14:25

Obe strany deklarujú ochotu dohodnúť sa, nevyriešenou zostáva platová otázka.

košice, nehoda, alkohol za volantom

Ďalší ožran za volantom: Auto prevrátil na strechu, nafúkal takmer tri promile

26.11.2022 13:28

Hrozivo vyzerajúca nehoda sa stala krátko pred polnocou v piatok v Košiciach.

WC, toaleta, záchody

Ktoré európske mestá majú najšpinavšie verejné záchody? Bratislava prekvapila

26.11.2022 12:30

Experti britskej webovej stránky showersforyou (sprchy pre vás) urobili zaujímavý prieskum pri príležitosti Svetového dňa toaliet.