aldebaran.pravda.sme

Keď je na súradnicovej osi x je premenná mocnina ktorou umocňujem základ a tak dostanem exponenciálnu funkciu y=a^x. Dole je graf funkcii kde čiarkovaná čierna krivka  ma základ 4, modrá krivka ma základ e, čierna bodkovaná ma základ 2 a červená čiara je dotyčnica krivky funkcie e^x v bode x=0.

Pri skúmaní mocnín našiel škotsky matematik John Napier zaujímavú súvislosť pri porovnavaní zmeny funkcii  a^x medzi základmi 3 a 2. Na osy x určíme zmenu dva body x a x₂=x+Δx. Za Δx si zvolíme, nejaké malé číslo. Na osi y dostaneme zmenu Δy=y₂ -y₁. Δx a Δy sú strany pravouhlého trojuholníka. Pomer Δy/Δx tangens uhla prepony ktorý zviera s osou x. Zaujímavosťou je, že  pri základe a=3 má tangens väčšiu hodnotu ako y₂, ale pri a=2 je hodnota tangensu menšia ako y₂. Zostrojím niekolko tabuliek pre názornosť podľa vzorca

a=3, Δx=0,1

tan α je väčší ako y₂

a=2, Δx=0,1

tan α menší ako y₂

a=2,8, Δx= 0,01

tan α je väčší ako y₂

a=2,7, Δx= 0,01,

tan α je menší ako y₂

a=2,72, Δx =0,001,

tan α väčší ako y₂

a=2,71, Δx=0,001,

tan α je menší ako y₂

a=2,719; Δx=0,0001

tan α je väčší ako y₂.

a=2,718; Δx=0,0001

tan α je menší ako y₂.

Podľa tabuliek vidíme že medzi číslami 2,719 a 2,718 musí existovať nejaké číslo kde tan α sa bude rovnať   y₂. znamená to že pomer Δy/Δx sa bude rovnať elementárnym zmenám, pomerom diferenciálov dy/dx. Keď si predstavíme Δy a Δx ako strany pravouhlých trojuholníkov na krivke, tak prepony pravouhlých trojuholníkov vytvárajú kostrbatú krivku. Čím bude strana Δx menšia tým bude krivka plynulejšia. Pri elemente Δx=dy bude krivka plynulá a tan α sa bude rovnať  a^x. Znamená to, že tangens uhla dotyčnice kryvky sa rovná hodnote a^x. Podľa grafu vidno, že v bode x=0 je uhol 45° tzn. tan α=1. Toto číslo sa nedá vypočítať, pretože je nedeliteľné a má nekonečne veľa desatinných miest. Vzorec Pre výpočet určil švajčiarský matematik Leonhard Euler, podľa neho je pomenované eulerové číslo e. Jeho približná hodnota je e=2,71828182846. Viac o ňom napíšem v druhom blogu