aldebaran.pravda.sme

Tento článok je pokračovanie článkov o matematike z oblasti derivácii a integrálov. Aj keď téma je z elektrotechniky, tak na konkrétnom prípade sa dá  veľmi dobre demonštrovať použitie derivácii a integrálov. Dole je nakreslený obrázok tzv. RC obvodu. Myslím, že mnoho čitateľov pracuje v oblasti elektrotechniky a rozumie tomuto obvodu. Pri výpočte okamžitých hodnôt napätia alebo prúdu, pri nabíjaní alebo vybíjaní kondenzátora cez odpor,  sa počíta s časovou konštantou τ v člene (e^-t/τ). Pokúsim  sa to vysvetliť v blogu ako sme na ten vzorec prišli. Na obrázku je odpor R a kondenzátor, resp. kapacita C. Prepínač slúži na prepínanie režimu vybíjania a nabíjania kondenzátora a U je jednosmerný zdroj napätia. Keď kondenzátor  pripojíme na jednosmerné napätie sa nabije na napätie zdroja. Ale to nabíjanie neprebieha okamžite, ale po určitej dobe, teoreticky až za nekonečne dlhú dobu. Keď zapojíme nabitý kondenzátor cez odpor okamžité napätia na odpore u_R a kondenzátoré u_C budú rovnaké pretože platí ohmov zákon u =Ri. Napätia musíme počítať ako opačne polarizované, pretože, sú v sérii. Súčty napätia na odpore u_R kondenzátore u_C pretože sú rovnaké musia spĺňať rovnicu

Vybijací prúd i=dq/dt časom klesá pretože klesá náboj q_C na kapacite C a napätie u_C=q_C/C sa znižuje. Znamená to, že napätie na odpore u_R sa bude rovnako znižovať. Podľa toho si môžeme napísať rovnicu

 Vydelením rovnice R a q_C a vynásobením dt  dostaneme rovnicu  diferenciálnu rovnicu

túto rovnicu môžeme integrovať podľa vzorcov

integrovaním tejto rovnice získame vzorec

k je počiatočná podmienka, je to maximálny náboj na kondenzátore ktorý musíme napísať ako logaritmus k=ln(UC)=lnQ. Po prevedením konštanty na druhú stranu dostaneme rovnicu

Odčítanie logaritmov je delenie a z tejto rovnice môžeme odstrániť logaritmus ln podľa vzorca

Člen RC sa nazíva časová konštanta a značí sa písmenom tau τ. Takto sme prišli k členu (e^-t/τ). Z toho dostaneme výsledný vzorec pre okamžitý náboj q_C v kondenzátore pri vybíjaní v čase t

Náboj bude v kondenzátore časom pri vybíjaní klesať, tým pádom bude klesať aj napätie na kondenzátore u_C. Vzorce sú

Keď budeme uvažovať, že na kondenzátore môže byť najväčšie napätie U, tak maximálny prúd bude daný pomerom U/R. Z toho dostaneme vzorec pre okamžitý prúd i

Časová konštanta má rozmer sekundy,  dá sa odvodiť z rovnice τ=RC. Môžeme si to odvodiť z rozmerovej rovnice, napätie Volt V, Prúd Amper A, náboj Coulomb C a čas s.

Pri nabíjaní napätie u_C stúpa. Z nabíjacieho napätia U sa musí odratávať napätie Ue^-t/τ. Z toho vychádza vzorec

V odvodení je použitý integrál, kde jeho výsledok je prirodzený logaritmus ln. Integrovaním derivácie dostaneme pôvodnú funkciu.Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii podľa grafu

Pri exponenciálnej funkcii je na osi x exponent x a na osi y je výsledok y=e^x. Pokúsim sa vysvetiť ako sme k tomu vzorcu prišli. Integrál logaritmu má vzorec

Keby  sme použili odvodenie pre exponenciálne funkcie tak výsledok by bol stále x^(-1+1)/(/-1+1)=x⁰/0=>x⁰=1/0 výsledok bude stále nekonečno. Exponencálna krivka má na osi x exponent a na osi y hodnota exponenciálnej funkcie. Prirodzený logaritmus je číslo na ktoré musíme umocniť zaklad e, aby sme dostali dané číslo y. Z toho sa dajú odvodiť vzorce

Pri logaritmickej krivke sú hodnoty opačné, na x je hodnota exponenciálnej funkcie a na y je ln x. Hodnoty na osiach majú vzorce

Derivácia e^x je rovná hodnote e^x ak je logaritmus inverzná hodnota, tak aj derivácia musí byť inverzná hodnota. Inverzná hodnota nejakého čísla je jeho obrátená hodnota. Z toho nám vychádza, že derivácia ln x je obrátená hodnota e^x. Z toho si môžeme odvodiť vzorec

Logaritmus je inverzná funkcia k exponenciálnej tzn. pri exponenciálnej hodnote uhly dotyčnice stúpajú a pri logaritme pri stúpajúcej hodnote uhly dotyčníc klesajú. Číselné vyjadrenie derivácie je tangens uhla dotyčnice pri logaritmickej funkcii má tangens hodnotu 1/x. Graf pre deriváciu logaritmu je na obrázku, kde je vidno, že pri stúpaní hodnoty sa uhol dotyčnice narovnáva s osou x.

integrovaním derivácie dostaneme pôvodnú funkciu podľa vzorca

Vrátim sa ešte k prechodovým javom. Opačný pomer prúdov na čase ako pri kapacite je na indukčnosti. Indukčnosť je určuje pomer magnetického toku na prúde ktorý ho vytvoril na určitej časti dráhy prúdu napr. vedenie, alebo cievka. Dole je nakreslený sériový obvod RL. R je činný odpor, L je indukčnosť, zdroj jednosmerného napätia U a prepínač v čase t=0. Indukčnosť závisí od parametrov cievky alebo vodiča, je konštantná. Pri pripojení jednosmerného napätia do obvodu s indukčnosťou nastane veľká zmena prúdu. Táto zmena naindukuje do vodičov prúdu opačné premenlivé napätie. To napätie má opačnú hodnotu ako napätie zdroja, je to tzv. indukované napätie u_i. Indukované napätie je najvyššie hneď na začiatku.

Indukčnosť môžeme odvodiť z indukovaného napätia u_i, podľa vzorca.

Napätie na odpore u_R je odvodené od okamžitého prúdu i. Napätie na cievke je indukované napätie u_i. Indukované napätie vznikne iba vtedy keď sa zmení prúd v obvode napr. vypnutím vypínača. Indukované napätie má opačné znamienko ako napájacie napätie U. Z toho si môžeme odvodiť súčet napätí podľa vzorca

Keď vydelíme napätia odporom, dostaneme prúd.

Maximálny prúd je I=U/R. Prúd ktorý je vytvorený indukčným napätím má opačné má opačný smer pretože indukčné napätie pôsobí opačne.

Pomer L/R je podobne ako pri kapacite časová konštanta τ. Rozmer časovej konštanty pre indukčnosť si môžeme odvodiť podľa rozmeru indukčnosti. Vzorec je

Podľa vzorcov pri kapacite si môžeme odvodiť okamžité hodnoty v RL obvode, pretože keď máme časovú konštantu môžeme ju vpísať do exponentu (e^-τ/t) podobne ako v RC obvode.

Odvodením podľa člena  (e^-τ/t) dostaneme vzorec pre okamžitý prúd

Maximálny prúd je I=U/R sa ustáli po určitom čase, teoreticky by to bolo v nekonečne ale prakticky je to v dobe keď  τ/t=1.

Pri vypínaní tiež dochádza k veľkej zmene prúdu. Indukované napätie má zápornú hodnotu a môže byť veľmi vysoké, pretože keď je t veľmi malé tak súčiniteľ (e^-τ/t) je vysoký. Preto indukčné obvody s jednosmerným zdrojom majú veľké problémy pri zapínaní a vypínaní. vzorec pre indukčné napätie je

Na príkladoch z fyziky sa dá najlepšie vysvetliť vyššia matematika. V ďalších blogoch z fyzky odvodím ďalšie postupy s integrálmi a deriváciami.