Načo nám je derivácia

Pri odvodení rovnomerného zrýchlenia Newton prišiel na zaujímavý matematický spôsob počítania okamžitých hodnôt. Že pri voľnom páde je nárast rýchlosti na čase rovnomerne bolo známe. Vždy za rovnakú zmenu rýchlosti na zmene času prírastok rýchlosti bol rovnaký.

Pre konštantnú rýchlosť vk platí, že dráha ktorú pešiel bod narásta rovnomerne. Keby sme

keby sme zostrojili graf tejto rýchlosti, kde na osi x je čast t ana osi y je vzdialenosť s tak spojnica bodov je priamka. Z geometrie vieme, že tangens uhla priamky je rýchlosť.

Pri priemerná rýchlosť vp

rozdiel maximálnej rýchlosti vmax a minimálnej rýchlosti vmin

rovnomerné,konštantné zrýchlenie ak

okamžitá rýchlosť pri konštantnom zrýchlení v danom čase vkz

s je vzdialenosť ktorú prešlo teleso pri rovnomernom. 2s je nárast vzdialenosti pre okamžitú rýchlosť pri rovnomernom zrýchlení

Priblíženie sa k výsledku môžeme dostať pomerom dráhy a času. dole je vzorec vzťah medzi dráhou a časom je s=t2 máme vzdialenosť 16 a čas 4 tzn. okamžitá rýchlosť má hodnotu 8. čím bude zmena menšia tým výsledok bude presnejší

Tu sa už dostávame k derivácii

Derivácia z hľadiska geometrie predstavuje nárast funkcie v danom bode. Dole graf podľa čoho sa určuje derivácia

Zmeny na osiach x a sú uvedené na vzorci podľa obrázku

Vidíme, že čím je zmena menšia tým viac sa približuje uhol α k uhlu dotyčnice. Derivácia sa značí čiarkou a odvodzuje sa z limity podľa vzorca

Pre y=x2 dostaneme rovnicu

Vynásobením a vykrátením a vložením za Δx=0 dostaneme výsledok

Z toho nám vyplýva vzorec pre deriváciu mocniny

Z grafu vidíme, že y/x je tanges uhla dotyčnice, to znamená, že tangens uhla dotyčnice pri funkcii závislosti vzdialenosti na čase je rýchlosť. Deriváciou vo fyzike zisťujeme okamžitú hodnotu výslednej funkcie pri zmene základných hodnôt. Všeobecný vzorec pre deriváciu je podľa obrázka, keď zameníme za Δx h dostaneme vzorec ktorý platí pre každú jednú deriváciu.

Písal som o Eulerovom čísle e je to základ prirodzených logaritmov a vyznačuje sa tým, exponenciálna hodnota tohto čísla je rovnaká. odvodím to podľa vzorca

Inverznou funkciou ex je prirodzený logaritmus ln x. Prirodzený logaritmus predstavuje exponent e, preto odvodenie derivácie ln x vychádza z odvodenia derivácie ex podľa rovníc

logaritmy si môžeme upraviť podľa vzorcov

keď h je 0 tak 1/h je nekonečno. Môžeme 1/h zameniť za n a 1/x môžeme dať pred limitu dostávame vzorec

zo vzťahov

môžeme odvodiť konečný vzorec pre (ln x)´

Tretia dôležitá derivácia je derivácia sínusu. Derivácia sínusu predstavuje tangens dotyčnice na sínusovke, funkcie sínus. Vzorec sa upraví podľa súčtu sínusov

úpravou dostávame vzorec

limita sa dá roztrhnúť a členy prispôsobiť aby pasovali násobkom

vložením za h=0 dostaneme vzorec

vyčíslením dostaneme hodnotu (sin x)´=cos x

Predstavme si sínusovku v osiach x y ako dve polkružnice s polomerom 1. Dotyčnica musí mať v priesečníku os.uhol 45° voči osi x. pretože rovnomerne kopíruje povrch sínusovky. Keď budeme dotyčnicu otáčať na vrchol krivky tak jej uhol bude 0°. Hodnoty tangensov budú zodpovedať funkcie cos x. Kosínus 0° je 1 znamená to, že v bode x=1 bude uhol tangens 0. Otáčaním dotyčnice budu uhly na strane +x záporné, pretože dotyčnica sa otáča opačným smerom. Na x=1 bude uhol voči osi x -45° tzn. že tangens je –1. Hodnoty tangensu kopírujú sínus so zápornou hodnotou. Z toho vychádza (cos x)´=-sin x. Z týchto derivácii môžeme odvodiť ostatné derivácie. Deriváciu využívame na to aby sme odvodili nejaké javy, napr. výpočet rýchlosti svetla je odvodený v základe deriváciou resp. prišlo sa na to použitím derivácie.

Niečo o hyperbole II.

12.03.2025

V predchádzajúcom blogu https://aldebaran.blog.pravda.sk/2024/12/04/nieco-o-hyperbole/ som písal, že polovica hyperbolického uhla je určená plochou S Na vysvetlenie je potrebné odvodiť integrál, ktorý môžeme prepísať na neurčitý integrál pretože výsledok bude rovnaký Integrály pod odmocninou sa priamo nedajú vypočítať, preto ich musíme [...]

Balistické rakety

10.01.2025

V poslednom obdobý sa veľa hovorí o balistických raketách tak niečo o nich napíšem Prvá balistická raketa bola nemecká V 2. Vyletela kolmo, pomocou klapiek na krídlach a nasmerovaním ťahu nastavila sa na balistickú dráhu. Azimut sa nastavoval podľa rádiového lúča a sklon dráhy bol nastavený podľa gyroskopu. Tieto údaje spracoval analógový počítač [...]

Niečo o hyperbole

04.12.2024

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice. Rovnica kružnice je x2+y2=r2. r je polomer ktorý zviera uhol t [...]

oslavy sviatku sv. Cyrila a Metoda

Cyrilometodské oslavy na Devíne: Najpopulárnejšou atrakciou bol pečený býk, darčeky nestačili pre všetkých

05.07.2025 20:46

Celodenné oslavy 1162. výročia príchodu sv. Cyrila a Metoda na územie Slovenska boli pre mnohých skúškou vytrvalosti.

Cessna / Courier Freighter / Plane /

V Rakúsku sa zrútilo malé lietadlo, zahynuli štyria Nemci

05.07.2025 19:32

Príčina havárie dosiaľ nie je známa.

Grécko, požiar, hasiace lietadlo, hasiči, hasenie, Atény

Na gréckom ostrove Eubója vyčíňa požiar, na Kréte je už prevažne pod kontrolou

05.07.2025 18:30, aktualizované: 18:50

Pre ostrov Eubója i viacero častí Grécka platila v sobotu zvýšená výstraha pred rizikom vzniku lesných požiarov.

hasič, požiarnik, požiar, oheň, hasenie

Lesný požiar v Kalifornii pohltil už vyše 28-tisíc hektárov porastov

05.07.2025 18:18

Podľa AFP ide o dosiaľ najrozsiahlejší tohoročný lesný požiar v Kalifornii.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 51
Celková čítanosť: 215298x
Priemerná čítanosť článkov: 4222x

Autor blogu

Kategórie