aldebaran.pravda.sme

Chcem vysvetliť Planckovu konštantu ju, pretože je odvodená z merania spektra žiarenia, ktoré vyžarujú telesa teplom. Nemecký fyzik Wilhelm Wien meral intenzitu vlnových dĺžok v slnečnom spektre a zistil zaujímavú vlastnosť slnečného žiarenia. V celom spektre vlnových dĺžok mala jedná vlnová dĺžka najväčšiu intenzitu. Dole je graf ktorý zobrazuje vzťah vlnovej dĺžky slnečného žiarenia k jej intenzite.

Na tomto základe začal robiť merania intenzity žiarenia na telesách, ktoré majú rôznu teplotu. Hodnoty prepočítaval na idealizované úplne čierne teleso. Úplne čierne teleso pohlcuje všetky vlnové dĺžky, ale zároveň vyžaruje všetky vlnové dĺžky pre danú teplotu. Žiarenie Slnka dosť dobre zodpovedá žiareniu úplne čierneho telesa, ostatné materiály majú určitú emisivitu, zníženie žiarenia oproti úplne čiernemu telesu. Zistil, že telesá vyžarujú celé spektrum vlnových dĺžok pri danej teplote, ale iba jedna vlnová dĺžka pre danú teplotu telesa má najvyššiu intenzitu, označil ju λ_max . Pre vlnovú dĺžku λ môžeme vypočítať frekvenciu ν z rýchlosti svetla c, podľa vzorca ν=c/λ.  Zaujímavé bolo zistenie, že násobok vlnovej dĺžky λ_max s termodynamickou teplotou T mal vždy konštantnú hodnotu. Túto hodnotu nazvali po ňom „Wienova koštanta“ značená b s hodnotou 0.002897 7729 m⋅K. Z toho vychádza vzorec λ_max=b/T. Zo vzorca vyplýva, že so zvyšujúcou teplotou vlnová dĺžka λ_max sa skracuje proporcionálne. Dole je graf závislosti vlnových dĺžok na teplotách.

Wen potreboval očíslovať aj ypsylonovú os. Predpokladal podľa tepelnej energie molekuy, že aj energia vlny bude násobok konštanty frekvenciou. Priblížim to odvodenie konštanty, trochu polopatisticky. Na vodorovnej osi sú vlnové dĺžky λ a na zvislej je hustota žiarenia vĺn. na grafe sú znázornené krivky vyžarovania pre dané teploty. Intenzity vlnových dĺžok v spektre najprv prudšie stúpajú až po vlnovú dĺžku λ_max, potom exponenciálne klesajú. Z tejto rovnice si môžeme odvodiť teplotu T pre λ_max. Teplotu T_λmaxktorá zodpovedá vlnovej dĺžke

Teplotu T_λmax si môžeme vyjadriť aj pomocou frekvencie ν_λmax, ktorá prislúcha vlnovej dĺžke λ_max. Odvodenie teploty T_νλmax pomocou frekvencie ν_λmax je podľa vzorca

Keď vynásobíme vzorec Boltzmanovou konštantou k_B dostaneme tepelnú energiu molekuly ideálneho plynu. Keď teplotu T_νλma odvodíme pomocou frekvencie ν_λmax dostaneme vzorec

Maxwell odvodil vzťah medzi tepelnou energiou molekuly v plyne E_Tm a jej kinetickou energiou E_Km. Pomer medzi medzi energiami má vzorec

Molekula ktorá má určitú tepelnú energiu vyžaruje jednu vlnu žiarenia o určitej energii. Vyžarovaná energia je generovaná kinetickou energiou molekuly, preto je tiež priamoúmerná tepelnej energii tzn. je o nejaký násobok rozdielna. Z toho môžeme odvodiť pomer tepelnej energie E_T(ν_λmax) k vyžarovanej energie E_ν(ν_λmax)

Zlomok k_Bb/c sú konštánty a x je tzv. číselný faktor má tiež konštantnú hodnotu. Všetky tieto konštanty sú nemenné preto si môžeme odvodiť z nich jednu konštantu h. Z vychádza výpočet pre energiu žiarenia E_ν keď poznáme frekvenciu ν a môžeme si odvodiť pre frekvenciu podľa vzorca

Odtiaľ dostávame vzorce pre energie žiarenia vyjadrené frekvenciou a vlnovou dĺžkou

Rozmer konštanty h je Js, Joule sekunda. Pre výkon jednej vlny P_λ dostávame vzorec

Musíme uvažovať s hustou žiarenie. Môžeme, si to predstaviť na obrázku dole. V strede guli je bodový žiarič. Na povrch gule o ploche r²=1m² dopadá počet vĺn 1/λ². Za čas t=1/c prejde žiarenie vzdialenosť r=1m. Poče vĺn na dĺžke 1m=1/λ . Znamená to, že počet vĺn ktorý prejde cez plochu 1m² za čas t=1/c je taký istý ako v kocke o dĺžke hrany 1m podľa vzorca 1/λ² ⋅1/λ=1/λ³. Vynásobením výkonu jednej vlny hustotou vĺn dostávame hustotu výkonu žiarenia na plochu steradiánu r²=1m²

Musíme uvažovať, že vlna je trojrozmerná a nemôže mať nulový objem, preto musíme vlnu počítať v superpozícii, výkon vlny je dvojnásobný. Z toho nám vychádza vzorec pre hustotu výkonu vyžarovaných vĺn z rovnakou vlnovou dĺžkou na steradián B_λ. Jej rozmer je W/m³

Na grafe je vidno, že pri zväčšovaní vlnových na dĺžok hustota žiarenia najprv prudko potom sa krivka prudko ohne po vlnovú dĺžku λ_max. Ďalším zväčšovaním vlnovej dĺžky od λ_max hustota žiarenia mierne exponenciálne klesá. Znamená to, že častice zohriateho telesa sa pohybujú chaoticky. Vyžarovaná hustota výkonu jednotlivých vĺn v spektre kopíruje kinetickú energiu jednotlivých častíc hmoty telesa. Wien si pomohol s Maxwell Boltzmanovým distribučným zákonom. Tento zákon určoval pravdepodobnosť koľko častíc plynu sa bude pohybovať určitou rýchlosťou. Dá sa určiť najpravdepodobnejšia rýchlosť a z nej možno odvodiť graf. Tento graf bol veľmi podobný z grafom vlnových dĺžok. Boltzmann vypracoval zákon pre počet častíc ideálneho plynu ktorý sa nachádza v reze stĺpca v určitej výške. Predstavme si rovný valec, ktorý je kolmý na zem a napustený ideálnym plynom. Dole je N₀ častíc. Čím bude plyn teplejší tým bude väčšia hustota častíc. Rozdiel medzi množstvom častíc v priereze N₀ a N bude menší. Tepelná energia častíc bude vyššia. Čím bude plyn ťažší a prierez stĺpca N bude vzdialenejší od prierezu N₀ tým bude väčšia zmena gravitačnej energie. Znamená to, že násobok N₀ deriváciou pomeru zmene gravitačnej energie molekuly k tepelnej energie molekuly plynu nám udáva počet častíc N_. Keď označíme hmotnosť molekuly m₀, g gravitačné zrýchlenie a h_G výšku od zeme dostaneme zmenu gravitačnej energie ΔE_G. Tepelná energia je násobok Boltzmanovej konštanty k_B termodynamickou teplotou T. Z toho vychádza vzorec

V plyne ktorý má určitú teplotu nepohybujú sa všetky molekuly rovnakou rýchlosťou. Výpočtom z tepelnej energie sa dá určiť najväčší počet molekúl, ktoré sa budú pohybovať rovnakou rýchlosťou. Pri zvyšovaní rýchlostí počet molekúl pre danú rýchlosť prudšie stúpa. až po najpravdepodobnejšiu rýchlosť. Rýchlosti ktoré stúpajú od najpravdepodobnejšej rýchlosti, mierne exponenciálne klesajú. Vo vzorci je exponenciálny násobok podobný ako v predchádzajúcom vzorci, len miesto zmeny gravitačnej energie je kinetická energia molekuly. Čím je hmotnosť molekuly väčšia tým bude objemnejšia a čím bude rýchlejšia, tým kratšie vlny bude vyžarovať. Znamená to, že väčšia kinetická energia molekuly vyžaruje svetelnú vlnu s väčšou energiou, Z toho si môžeme odvodiť exponenciálny násobok pre vlnovú dĺžku.

Vložením exponenciálneho násobku do hustoty jednej vlnovej dĺžky, dostávame objemovú hustotu svetelných vĺn v spektre zohriateho telesa pre danú teplotu B(λ; T)

V konštante h je neznáma hodnota číselného. faktora x. Vypočíta sa deriváciou podľa vlnovej dĺžky. Vzorec pre derivovanie má tvar

Číselný výsledok derivácie je tangens uhla ktorý zviera dotyčnica funkcies osou x. My potrebujeme vedieť funkciu ktorá by nám dala číselný výsledok 0 pretože je to dotyčnica je rovnobežná s osou x je to na vrchole krivky, kde je vlnová dĺžka je λ_max. Výsledný vzorec po derivácii má tvar

vykrátením dostaneme vzorec

Z tejto rovnice vychádza číselný faktor x=5. Z toho si môžeme odvodiť rovnicu pre výpočet konštanty h

Keď som vložil hodnoty do excelu a vyšla mi približná hodnota hodnota konštanty h vo vzorci

Tento vzťah odvodil Wien v roku 1896. Výpočet celkom presné vychádzal pri meraní kratších vlnových dĺžkach, ale pri dlhších bol výpočet nepresný. Tento vzťah nebol celkom presný. Pretože konštanta h sa odvodí z výsledného vzorca tak jej hodnota tiež nemohla byť celkom presná. V roku 1900 odvodili presný vzťah Nemecký fyzik Max Planck. Jeho výpočty presne kopírovali meranie, preto mohol mohol presne určiť hodnotu konštanty h, ktorú po ňom pomenovali. Wien odvodil výpočet pre energiu vyžarovanej vlny, čo bolo veľmi dôležité.