Pokračujem v doplnení článku o vyžarovaní svetla teplom. Wien správne odhadol, že energia svetelnej vlny bude mať určitú pomernú konštantu. Ale nepodarilo sa mu opísať intenzitu žiarenia pri malých frekvenciách. Popísať svetelné spektrum sa pokúsili anglickí fyzici lord Rayleigh a sir James Jeans. Odvodení ich zákona je na internete niekoľko. Ale najjednoduchšie odvodenie pre pochopenie ich zákona, je to ktoré je matematický najťažšie. Je to odvodenie z Maxwellových vlnových rovníc, pretože už sa predpokladalo, že svetlo je elektromagnetické vlnenie. Označenie spektrálnej hustoty žiarenia je tiež rôzne. Objemová hustota sa označuje niekedy H, Me a u.
Vychádzali z úvahy: v zohriatom telese sa elektromagnetická vlna sa bude vytvárať vo fiktívnych dutinách. Dutina má určitý objem kde je stojatá elektromagnetická vlna. Predstavme si kocku s veľkosťou strany λ a v nej je vlna ktorá je guľa s polomerom (λ/2)=L. Vychádzali z toho, že stojatá vlna sa bude odrážať od stien v kocke, ktorá má objem λ3. V kocke je guľa s polomerom L. Objem gule je Vg=(4∙π∙L3)/3. Pomer objemov Vg/λ3 označili ako mod N. Vzorec je Je to určitá voľnosť elektromagnetickej vlny. Tento vzorec popisuje iba statickú vlnu. Uvažujme, že keď je vlna guľa tak sa bude stláčať v rytme frekvencie. V kocke bude určitá hustota vlny. Hustotu vlny môžeme prirovnť ku zýchleniu. Keďže uvažujeme vlnovú dĺžku ako trojrozmernú guľu ktorá sa stláča, tak svoju dĺžku mení. V kocke musíme uvažovať 2 vlny v protifáze, pretože jedna by v strede vlnovky mala nulový objem. Jedna guľu rozťahujeme a druhá sa stláča v rovnakom čase a v jednom priestore. Deriváciou modu N na vlnovej dĺžke λ dostaneme hustotu elektromagnetickej vlny. Môžeme to prirovnať k zrýchleniu. dN je ako zmena rýchlosi a dλ ako zmenu času. deriváciou dostávame vzorec Tento vzorec ale udáva iba hustotu v kocke. Z toho si môžeme odvodiť hustotu vvĺn v jednotkovom objeme u podľa vzorca Keď vynásobíme člen
8π/λ4 Boltzmanovou konštantou kB a termodynamickouj teplotou T dostaneme objemovú hustotu energie elektromagnetickej vlny Hλ. Násobok kB·T nám udáva tepelnú energiu jednej molekuly ET. Z toho vychádza vzorec
Môžeme si to vyjadriť aj s frekvenciou.
derivujeme mod Nν na frekvencii ν podľa vzorca
Z toho dostávame objemovú hustotu frekvencie uν
Podobne vynásobením ET∙uν dostávame hustotu energie elektromagnetickej vlny vyjadrenú frekvenciou Hν
Tento vzorec si môžeme prepísať na tvar
z toho vzorca môžeme určiť prepočet medzi hustotami energie pre vlnovú dĺžku a hustotu energie frekvencie vĺn
Číselné hodnoty nie sú rovnaké, pretože v jednej uvažuje sa vlnová dĺžka a v druhej frekvencia. Grafy nie sú rovnaké, pretože energia stúpa so zvýšujúcou frekvenciou tzn. so zväčšujúcou vlnovou dĺžkou energia klesá.
Ale merať môžeme iba to čo zohriate teleso vyžiari na plochu. Meriame výkon žiarenia určitej vlnovej dĺžky spektra na plochu. Na spodnom obrázku je znazornený steradián. je to kruhový výsek z plochy guly ktorý má plochu r2. Plochu steradiánu dostaneme tak, že vydelíme obsah gule 4π. Môžeme si to predstaviť tak, že vyžarovať teleso bude bod v stred gule. Vynásobením rovníc pre hustoty elektromagnetických vĺn a frekvencie členom c/4π dostaneme podobne ako vo Wienovom vzorci výkon žiarenia danej vlnovej dĺžky na jednotku plochy za čas jedného impulzu t=1/c podľa vzorcaKeď pre hodnotu žiarenia udávame ako frekvenciu, dostaneme podobne ako pri hustote energie, hustotu výkonu elektromagnetických vĺn, ktorú udávame frekvenciou na jednotke plochy Bν, za čas t=1/c. podľa vzorca
V prvej rovnici člen c/4π predstavuje po úprave 1/t. V druhej rovnici upravuje hodnotu na plochu. podľa 1/c3∙c=1/c2. Vydelením rovníc 4π dostaneme plochu steradiánu. Podľa týchto rovníc si môžeme určiť rozmerové rovnice. Pre dĺžku vlny je rozmer výkonu W Watt/meter kubický
Pre frekvenciu je rozmer energie J Joule/meter štvorcový
Hodnoty vo vzťahoch nie sú číselne rovnaké pretože pri vlnovej dĺžke udávame výkon v objeme a pri frekvencii je udaná energia na ploche. Energiu na ploche si môžeme predstaviť ako vlnenie jednotkovej plochy, ktorá sa šíri rýchlosťou svetla. Prevod medzi hodnotami vyžarovania je rovnaký ako medzi objemovými hustotami
Rayleigh- Johnsonov vzťah intenzity danej frekvencie spektra úplne čierneho telesa na jednotku plochy bol pomerne presný iba pri menších frekvenciách. Teleso vyžaruje rôzne frekvencie pri danej teplote ale intenzita od určitej frekvencie začína klesať. Podľa Rayleigh – Jeansovho vzťahu intenzita stúpa s frekvenciou stále. Tieto dilemy vedci pomenovali ultrafialová a infračervená katastrofa.
Celá debata | RSS tejto debaty