aldebaran.pravda.sme

Pokračujem v doplnení článku o vyžarovaní svetla teplom. Wien správne  odhadol, že energia svetelnej vlny bude mať určitú pomernú konštantu. Ale jeho rovnica pri väčších vlnových dĺžkach nevyhovovala meraným hodnotáam. Popísať svetelné spektrum sa pokúsili anglickí fyzici lord Rayleigh a sir James Jeans. Odvodení ich zákona je na internete niekoľko. Ale najjednoduchšie odvodenie pre pochopenie ich zákona, je to ktoré je matematický najťažšie. Je to odvodenie z Maxwellových vlnových rovníc, pretože už sa predpokladalo, že svetlo je elektromagnetické vlnenie. Označenie spektrálnej hustoty žiarenia je tiež  rôzne. Objemová hustota sa označuje niekedy H, M_e a u.

Vychádzali z úvahy: v zohriatom telese sa elektromagnetická vlna sa bude vytvárať vo fiktívnych dutinách. Dutina má určitý objem kde je stojatá elektromagnetická vlna.  Predstavme si kocku s veľkosťou strany λ a v nej je vlna ktorá je guľa s polomerom (λ/2)=L. Vychádzali z toho, že stojatá vlna sa bude odrážať od stien v kocke, ktorá má objem λ³. V kocke je guľa s polomerom L. Objem gule  je V_g=(4∙π∙L³)/3.  Pomer objemov V_g/λ³ označili ako mod N. Musíme ale uvažovať dve vlny v superpozicii, z toho vychádza vzorec

Je to určitá voľnosť elektromagnetickej vlny. Tento vzorec popisuje iba statickú vlnu v superpozicii. Uvažujme, že keď je vlna guľa tak sa bude stláčať v rytme frekvencie. V kocke bude určitá hustota vlny. Hustotu vlny môžeme prirovnť k rýchlosti stláčania vlny. Keďže uvažujeme vlnovú dĺžku ako trojrozmernú guľu ktorá sa stláča, tak svoju dĺžku mení. V kocke musíme uvažovať 2 vlny v protifáze, pretože jedna by v strede vlnovky mala nulový objem. Jedna guľu rozťahujeme a druhá sa stláča v rovnakom čase a v jednom priestore. Deriváciou modu N na vlnovej dĺžke λ dostaneme hustotu elektromagnetickej vlny.  Môžeme to prirovnať k objemu dN na vlnovej dĺžky dλ. deriváciou dostávame vzorec

Tento vzorec ale udáva iba hustotu v kocke. Z toho si môžeme odvodiť hustotu vĺn v jednotkovom objeme u podľa vzorca

Keď vynásobíme člen 8π/λ⁴ Boltzmanovou konštantou k_B a termodynamickou teplotou T  dostávame objemovú hustotu energie elektromagnetickej vlny  H_λ.  Násobok k_B·T nám udáva tepelnú energiu jednej molekuly E_T. Z toho vychádza vzorec

vynásobením objemovej hustoty c/4π dostávame hustotu výkonu elektromagnetických vĺn v priestorovom uhle pri r=1

Môžeme si to vyjadriť aj s frekvenciou.

derivujeme mod N_ν na frekvencii ν podľa vzorca

Z toho dostávame objemovú hustotu frekvencie u_ν

Podobne vynásobením E_T∙u_ν dostávame hustotu energie  elektromagnetickej vlny vyjadrenú frekvenciou H_ν 

Vynásobením hustoty energie c/4π   dostávame rovnicu, ktorá vyjadruje hustotu energie na ploche steradiánu

Podľa týchto rovníc si môžeme určiť rozmerové rovnice, ktorých rozmery sú také isté ako pri Wienových rovniciach. Pre hustotu výkonu vlnových dĺžok je rozmerova rovnica

Rozmerová rovnica pre hustotu energie frekvencie elektromagnetických vĺn na ploche steradiánu je odvodená,  podľa vzorca

Hodnoty vo vzťahoch nie sú v prepočte číselne rovnaké ako pri výkone, pretože pri vlnovej dĺžke udávame výkon v objeme a pri frekvencii je udaná energia na ploche. Energiu na ploche je súčet energie všetkých vlnových dĺžok na ploche steradiánu. Rayleigh- Johnsonov vzťah intenzity danej frekvencie spektra úplne čierneho telesa na jednotku plochy bol pomerne presný iba pri menších frekvenciách. Teleso vyžaruje rôzne frekvencie pri danej teplote ale intenzita od určitej frekvencie začína klesať. Podľa Rayleigh – Jeansovho vzťahu intenzita stúpa s frekvenciou stále. Tieto dilemy vedci pomenovali ultrafialová a infračervená katastrofa. Vlnovú dĺžku odvodili podobne ako Wien, ale ignorovali konštantu ktorú Wien navrhol. Ich merania pre väčšie vlnové dĺžky boli pomerne presné.