aldebaran.pravda.sme

Chcem vysvetliť Planckovu konštantu ju, pretože je odvodená z merania spektra žiarenia, ktoré vyžarujú telesa teplom. Nemecký fyzik Wilhelm Wien meral intenzitu vlnových dĺžok v slnečnom spektre a zistil zaujímavú vlastnosť slnečného žiarenia. V celom spektre vlnových dĺžok mala jedná vlnová dĺžka najväčšiu intenzitu. Dole je graf ktorý zobrazuje vzťah vlnovej dĺžky slnečného žiarenia k jej intenzite.

Na tomto základe začal robiť merania intenzity žiarenia na telesách, ktoré majú rôznu teplotu. Hodnoty prepočítaval na idealizované úplne čierne teleso. Úplne čierne teleso pohlcuje všetky vlnové dĺžky, ale zároveň vyžaruje všetky vlnové dĺžky pre danú teplotu. Žiarenie Slnka dosť dobre zodpovedá žiareniu úplne čierneho telesa, ostatné materiály majú určitú emisivitu, zníženie žiarenia oproti úplne čiernemu telesu. Zistil, že telesá vyžarujú celé spektrum vlnových dĺžok pri danej teplote, ale iba jedna vlnová dĺžka pre danú teplotu telesa má najvyššiu intenzitu, označil ju λ_max . Pre vlnovú dĺžku λ môžeme vypočítať frekvenciu ν z rýchlosti svetla c, podľa vzorca ν=c/λ.  Zaujímavé bolo zistenie, že násobok vlnovej dĺžky λ_max s termodynamickou teplotou T mal vždy konštantnú hodnotu. Túto hodnotu nazvali po ňom „Wienova koštanta“ značená b s hodnotou 0.002897 7729 m⋅K. Z toho vychádza vzorec λ_max=b/T. Zo vzorca vyplýva, že so zvyšujúcou teplotou vlnová dĺžka λ_max sa skracuje proporcionálne. Dole je graf závislosti vlnových dĺžok na teplotách.

Na vodorovnej osi sú vlnové dĺžky λ a na zvislej je hustota žiarenia vĺn. na grafe sú znázornené krivky vyžarovania pre dané teploty. Intenzity vlnových dĺžok v spektre najprv prudšie stúpajú až po vlnovú dĺžku λ_max, potom exponenciálne klesajú. Keď si vyjadríme λ_max podľa rýchlosti svetla c a časového impulzu t_λmax dostaneme vzorec pre frekvenciu ν_λmax

vložením hodnôt do rovnice dostávame vzorec

Vynásobením Boltzmanovou konštantou k_B dostávame na ťavej strane tepelnú energiu E_T . Vynásobením k_B pravej strany dostávame rozmer energie svetelnej vlny E_λ. Aby rovnica pre energiu vlny pasovala aj pre iné vlnové dĺžky v spektre, nahradíme pomer 1/t_λmax =x/t_i. x je bezrozmerný číselný faktor, ktorý vypočítame deriváciou, na konci blogu mám odvodenú deriváciu. Z toho si môžeme odvodiť rovnicu pre frekvenciu ν_λmax

a podľa toho môžeme rozpísať rovnicu keď násobíme k_B

Z tohto vzorca si môžeme odvodiť konštantu h. Násobok konštanty h frekvenciou ν udáva energiu vlny E_λ podľa vzorca

Rozmer konštanty h je Js, Joule sekunda. Pre výkon jednej vlny P_λ dostávame vzorec

Z toho môžeme odvodiť výkon vĺn ktoré dopadajú na jednotku plochy

Pre jednotlivu vlnovu dĺžku v spektre musíme počítať s počtom výkonu vĺn, ktoré prejdu cez jednotku plochy za čas t=s/c pri s=1. Musíme uvažovať, že vlna je trojrozmerná a nemôže mať nulový objem, preto musíme vlnu počítať v superpozícii. Z toho nám vychádza vzorec pre hustotu výkonu vĺn v jednotkovom objeme I_λ

Na grafe je vidno, že pri zväčšovani vlnových na dĺžok hustota žiarenia najprv prudko potom sa krivka prudko ohne po vlnovú dĺžku λ_max. Ďalším zväčšovanim vlnovej dĺžky od λ_max hustota žiarenia mierne exponenciálne klesá. Znamená to, že častice zohriatého telesa sa pohybujú chaoticky. Vyžarovaná hustota výkonu jednotlivých vĺn v spektre kopíruje kinetickú energiu jednotlivých častíc hmoty telesa. Wien si pomohol s Maxwell Boltzmanovým distribučným zákonom. Tento zákon určoval pravdepodobnosť koľko častíc plynu sa bude pohybovať určitou rýchlosťou. Dá sa určiť najpravdepodobnejšia rýchlosť a z nej možno odvodiť graf. Tento graf bol veľmi podobný z grafom vlnových dĺžok. Boltzmann vypracoval zákon pre počet častíc ideálneho plynu ktorý sa nachádza v reze stĺpca v určitej výške. Predstavme si rovný valec, ktorý je kolmý na zem a napustený ideálnym plynom. Dole je N₀ častíc. Čím bude plyn teplejší tým bude väčšia hustota častíc. Rozdiel medzi množstvom častíc v priereze N₀ a N bude menší. Tepelná energia častíc bude vyššia. Čím bude plyn ťažší a prierez stĺpca N bude vzdialenejší od prierezu N₀ tým bude väčšia zmena gravitačnej energie. Znamená to, že násobok N₀ deriváciou pomeru zmene gravitačnej energie molekuly k tepelnej energie molekuly plynu nám udáva počet častíc N_. Keď označíme hmotnosť molekuly m₀, g gravitačné zrýchlenie a h_G výšku od zeme dostaneme zmenu gravitačnej energie ΔE_G. Tepelná energia je násobok Boltzmanovej konštanty m_B termodynamickou teplotou T. Z toho vychádza vzorec

V plyne ktorý má určitú teplotu sa molekuly nepohybujú všetky molekuly rovnkou rýchlosťou. Výpočtom z tepelnej energie sa dá určiť najväčší počet molekúl, ktoré sa budú pohybovať rovnakou rýchlosťou. Keď zvyšovaní rýchlostí počet moekúl pre danú rýchlosť prudšie stúpa. až po najpravdepodobnejšiu rýchlosť. Rýchlosť ktorá stúpa od najpravdepodobnejšej rýchlosti mierne exponenciáne klesá. Vo vzorci je exponenciálny násobok podobný ako v predchádzajúcom vzorci, len miesto zmeny gravitačnej energie je kinetická energia molekuly. Čím je hmotnosť molekuly väčšia tým bude objemnejšia a čím bude rýchlejšia, tým kratšie vlny bude vyžarovať. Znamená to, že väčšia kinetická energia molekuly vyžaruje svetelnú vlnu s väčšou energiou, Z toho si môžeme odvodiť exponenciálny násobok pre vlnovú dĺžku.

Vložením exponenciálného násobku do hustoty jednej vlnovej dĺžky, dostávame objemovú hustotu svetelných vĺn v spektre zohriateho telesa B(λ; T)

V konštante h je neznáma hodnota číselného. faktora x. Vypočíta sa deriváciou podľa vlnovej dĺžky. Vzorec pre derivovanie má tvar

Číselný výsledok derivácie je tangens uhla ktorý zviera dotyčnica funkcies osou x. My potrebujeme vedieť funkciu ktorá by nám dala číselný výsledok 0 pretože je to dotyčnica je rovnobežná s osou x je to na vrchole krivky, kde je vlnová dĺžka je λ_max. Výsledný vzorec po derivácii má tvar

vykrátením dostaneme vzorec

Z tejto rovnice vychádza číselný faktor x=5. Ja som vložil hodnotu x do excelu a vyšla mi približná hodnota hodnota konštanty h vo vzorci

Tento vzťah odvodil Wien v roku 1896. Výpočet celkom presné vychádzal pri meraní kratších vlnových dĺžkach, ale pri dlhších bol výpočet nepresný. Tento vzťah nebol celkom presný. Pretože konštanta h sa odvodí z výsledného vzorca tak jej hodnota tiež nemohla byť celkom presná. V roku 1900 odvodili presný vzťah Nemecký fyzik Max Planck. Jeho výpočty presne kopírovali meranie, preto mohol mohol presne určiť hodnotu konštanty h, ktorú po ňom pomenovali. Wien odvodil výpočet pre energiu svetelnej vlny, čo bolo veľmi dôležité.