aldebaran.pravda.sme

Wienové merania boli správne iba pri veľmi malých vlnových dĺžkach. Rayleigh a Jeans sa snažili túto anomáliu vysvetliť ale konštantu h zanedbali, čo urobili veľkú chybu. O tom vzťahu som písal v minulom blogu. Meraním pri väčších vlnových dĺžkach bol ich vzťah správny. Nemecký fyzik Max Planck porovnával výsledky meraní s vypočítanými hodnotami. Wienov vzťah popisoval dosť presne hustotu vĺn pri kratších vlnových dĺžkach, ale pri malých dĺžkach boli výsledky meraní o dosť väčšie ako výpočet. Pri Raylegh-Jeansonovom vzťahu výsledky meraní pri väčších vlnových dĺžkach pomerne presne kopírovali merania, ale pri menších vlnových dĺžkach boli veľmi nepresné. namená to že Wienov vzťah

musíme zväčšiť

a Rayleigh – Jeansov-vzťah

musíme zmenšiť

Planck nerovnosti odvodil intuitívne z odvodenia funkcie e^x, podľa vzorca

za x vložíme hodnoty podľa vzorca

Z toho si môžeme odvodiť vzorec

Vynasobenim Rayleigh – Jeansonov vzťahu výsledkom z vrchného vzorca, dostaneme upravený Wienov vzťah.

Z toho si môžeme odvodiť vzťah pre hustotu vyžarovaných vlnových dĺžok, ktoré vyžaruje úplne čierne teleso pri danej teplote.

Pri veľmi krátkych vlnových dĺžkach je exponent veľký, -1 môžeme zanedbať, Pri väčších vĺnových dĺžkach je exponent malý, tu sa už vo výsledku sa prejavuje -1. Takto určený vzorec dobre kopíroval krivku výsledkov meraní. Hodnota konštanty h sa musela spresniť, pretože vzorec sa upravil. Pri odvodení postupujeme podobne ako pri Wienovom odvodení. Derivujeme Planckov vzťah podľa vlnovej dĺžky λ

Výsledok derivácie má vzorec

úpravou dostaneme rovnicu

vykrátením dostaneme vzorec

Táto rovnica nedá priamo vypočítať, Musíme exponent prepísať podľa vzorca

Potom dostaneme rovnicu z ktorej si môžeme vyjadriť x

x je číselný faktor, ten sa nedá jednoducho vypočítať, pretože táto rovnica obsahuje člen xe^x. Presnejšie sa určí tzv. Lambertovou W funkciou, podľa vzoru

Z tejto rovnice dostaneme vzorec

Člen W₀ sa určí numerickou metódou v Taylerovom rade podľa vzorca

za x vložíme číslo s hodnotou (-5e^-5). Asi desiatom rade vypočítame hodnotu x s dosť veľkou presnosťou. Presnejšie vychádza W₀ = -0,0348857682557237

Číselný faktor má hodnotu 5-0,0348857682557237 = x =4,965 114 231 744 276 303.

konštanty b, k_B, c poznáme a číselný faktor x sme vypočítali. Vložením týchto hodnôt do rovnice, vypočítame hodnotu Planckovej konštanty h podľa vzorca

Hodnota vo vzorci sa veľmi málo odlišuje od udávanej hodnoty, pretože Planckova konštanta je meraná.