Odvodenie reťazovky

Skúsim do tejto prepolitizovanej doby napísať článok apolitický. Dokončím reakciu na článok ktorý písal Stan 021. V predchadzajúcom blogu som odvodil vzorce pre výpočet rozmerov reťazovky. V tomto blogu odvodím základnú deriváciu pre reťazovku. Začnem popisom grafu ktorý opisuje pôsobenie síl na reťazovke. Na grafe sú znázornené 3 sily. λgs , T0 a výsledná sila T. Sila λgs je vlastne váha reťazovky medzi bodmi c a r. λ je element reťaze, g je gravitačné zrýchlenie a s je dĺžka reťaze medzi bodmi c a r. Táto sila pôsobí kolmo dole. Sila λgs pôsobí v súbežne s osou y, znamená to, že sila λgs je úmerná hodnote Δy. Silu T0 si môžeme predstaviť ako silu ktorá ťahá stredný element reťaze do jednej strany. Sila T0 je súbežná s osou x, znamená to že je kolmá na silu λgs a je umerná hodnote Δx. Sila T0 je závislá od sily λgs, preto pri jej určení miesto dĺžky s použijeme fiktívnu dĺžku, ktorá je parametrom reťazovky a. Parameter vo výpočtoch určuje základnú výšku od najnižšej vzdialenosti reťazovky od zeme pri zadaných hodnotách s x y. Z toho si môžeme odvodiť vzorec, kde miesto zmeny Δx a Δy použijeme diferenciály dx a dy

Element dĺžky reťaze ds si môžeme odvodiť z Pytagorovej vety kde odvesny sú dx a dy a prepoona je ds podľa vzorca

vydelením rovnice dx dostaneme deriváciu

Z tohto vzorca si môžeme odvodiť diferenciál dx

Pre výpočet x musíme všetky dx spočítať, integrovať. Integrácia je v podstate násobenie derivácie. Počíta sa opačne ako derivácia. Integral má vzorec

Tento integral som odvodili v minulom blogu. Takto sme odvodili polovičnú vzdialenosť reťazovky medzi stĺpmi x. Podľa vzťahu medzi sínusom a inverzným sínusom

si môžeme vypočítať polovičnú dĺžku reťaze s

V prvej rovnici sme odvodili diferenciál dy , ten potrebujeme pre výpočet výšky stĺpca y. Rozpísaním za s dostávame rovnicu

V minulom blogu som písal, že derivácia sin u sa rovná -cos u. Pri derivovaní hyperbolických funkcii sinh a cosh môžeme požiť také isté pravidlá pretože rovnice kružnice a hyperboly sú podobné. Keďže integrál je opak derivácie dostávame integráciou dy  výšku stĺpca y podľa vzorca


Vo výpočtoch sa najčastejšie stretávame kde sú udané 3 hodnoty, vtedy parameter a nepoznáme, musíme ho vypočítať a vložiť do rovnice ktorú potrebujeme vypočítať. Parameter sa nedá vypočítať obyčajnou rovnicou. Vypočítava sa z parametrickej rovnice, ktorú si ostavíme z rovníc pre hodnoty ktoré sú udané. V minulom blogu som riešil dĺžku x pri výške stĺpca yzh a najnižšej výške reťazovky od zeme azh. Keďže nevieme či hodnota azh sa rovná parametru, znamená to, že zadaná výška stĺpca sa nerovná y. Z toho si môžeme odvodiť predlženie stĺpca p.

Píšem hodnoty ktoré sú zadané ako zh aby sa vedelo ako sa má zostaviť algoritmus. V minulom blogu som počítal dĺžku x. Parameter a som odvodil z parametrickej rovnice, ktorá je odvodená z výpočtu výšky stĺpca y a výpočtu vzdialenosti x podľa vzorca do

tejto rovnice vkladáme za a hodnoty až sa bude hodnota yzh rovnať zadanej hodnote. Odvodený parameter z algoritmu vložíme do rovnice pre výpočet dĺžky x.

Keď nepoznáme s a poznáme yzh, xzh a azh tak algoritmus sa zjednoduší

odvodený parameter vložíme do vzorca pre s

Keď poznáme hodnoty szh, xzh a azh môžeme vypočítať výšku stĺpca s predĺžením y+p. Parameter odvodíme zo vzorca pre dĺžku reťaze szh alebo vzdialenosti xzh

y+p vypočítame podľa vzorca

Na výpočet parametrických rovníc existuje veľa spôsobov. Dnes ale najlepšie je urobiť program v počítači podľa algoritmov a parameter je určený v zlomku sekundy.

Niečo o hyperbole II.

12.03.2025

V predchádzajúcom blogu https://aldebaran.blog.pravda.sk/2024/12/04/nieco-o-hyperbole/ som písal, že polovica hyperbolického uhla je určená plochou S Na vysvetlenie je potrebné odvodiť integrál, ktorý môžeme prepísať na neurčitý integrál pretože výsledok bude rovnaký Integrály pod odmocninou sa priamo nedajú vypočítať, preto ich musíme [...]

Balistické rakety

10.01.2025

V poslednom obdobý sa veľa hovorí o balistických raketách tak niečo o nich napíšem Prvá balistická raketa bola nemecká V 2. Vyletela kolmo, pomocou klapiek na krídlach a nasmerovaním ťahu nastavila sa na balistickú dráhu. Azimut sa nastavoval podľa rádiového lúča a sklon dráhy bol nastavený podľa gyroskopu. Tieto údaje spracoval analógový počítač [...]

Niečo o hyperbole

04.12.2024

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice. Rovnica kružnice je x2+y2=r2. r je polomer ktorý zviera uhol t [...]

nr sr

Poslanci schválili svedkom viacerých trestných činoch ochranu, šéf NBÚ nebude môcť skončiť len tak

02.04.2025 12:57

Nová legislatíva ustanovuje aj povinnosti chráneného svedka.

puškár

V kauze vraždy Daniela Tupého vypovedali ďalší svedkovi: Útok prišiel bez varovania a odzadu

02.04.2025 12:40

Z vraždy Daniela Tupého je obžalovaný advokát Adam Puškár.

Slintačka / Krívačka /

Budapešť hlási ďalšie dve ohniská slintačky a krívačky, nasadzuje armádu. Česko ukázalo výsledky mimoriadneho testovania

02.04.2025 12:32, aktualizované: 12:36

Na potlačenie epidémie vláda zavádza komplexný dezinfekčný systém na hraniciach so Slovenskom od Rajky až po Ostrihom.

Greece / Tank /

Grécko oznámilo radikálnu reformu armády za miliardy eur. Pilierom obrany sa stane „Achillov štít“

02.04.2025 12:20

Premiér Kyriakos Mitsokais tvrdí, že ide o „najdrastickejšiu“ reformu v novodobej histórii štátu.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 51
Celková čítanosť: 203517x
Priemerná čítanosť článkov: 3991x

Autor blogu

Kategórie