Odvodenie reťazovky

Skúsim do tejto prepolitizovanej doby napísať článok apolitický. Dokončím reakciu na článok ktorý písal Stan 021. V predchadzajúcom blogu som odvodil vzorce pre výpočet rozmerov reťazovky. V tomto blogu odvodím základnú deriváciu pre reťazovku. Začnem popisom grafu ktorý opisuje pôsobenie síl na reťazovke. Na grafe sú znázornené 3 sily. λgs , T0 a výsledná sila T. Sila λgs je vlastne váha reťazovky medzi bodmi c a r. λ je element reťaze, g je gravitačné zrýchlenie a s je dĺžka reťaze medzi bodmi c a r. Táto sila pôsobí kolmo dole. Sila λgs pôsobí v súbežne s osou y, znamená to, že sila λgs je úmerná hodnote Δy. Silu T0 si môžeme predstaviť ako silu ktorá ťahá stredný element reťaze do jednej strany. Sila T0 je súbežná s osou x, znamená to že je kolmá na silu λgs a je umerná hodnote Δx. Sila T0 je závislá od sily λgs, preto pri jej určení miesto dĺžky s použijeme fiktívnu dĺžku, ktorá je parametrom reťazovky a. Parameter vo výpočtoch určuje základnú výšku od najnižšej vzdialenosti reťazovky od zeme pri zadaných hodnotách s x y. Z toho si môžeme odvodiť vzorec, kde miesto zmeny Δx a Δy použijeme diferenciály dx a dy

Element dĺžky reťaze ds si môžeme odvodiť z Pytagorovej vety kde odvesny sú dx a dy a prepoona je ds podľa vzorca

vydelením rovnice dx dostaneme deriváciu

Z tohto vzorca si môžeme odvodiť diferenciál dx

Pre výpočet x musíme všetky dx spočítať, integrovať. Integrácia je v podstate násobenie derivácie. Počíta sa opačne ako derivácia. Integral má vzorec

Tento integral som odvodili v minulom blogu. Takto sme odvodili polovičnú vzdialenosť reťazovky medzi stĺpmi x. Podľa vzťahu medzi sínusom a inverzným sínusom

si môžeme vypočítať polovičnú dĺžku reťaze s

V prvej rovnici sme odvodili diferenciál dy , ten potrebujeme pre výpočet výšky stĺpca y. Rozpísaním za s dostávame rovnicu

V minulom blogu som písal, že derivácia sin u sa rovná -cos u. Pri derivovaní hyperbolických funkcii sinh a cosh môžeme požiť také isté pravidlá pretože rovnice kružnice a hyperboly sú podobné. Keďže integrál je opak derivácie dostávame integráciou dy  výšku stĺpca y podľa vzorca


Vo výpočtoch sa najčastejšie stretávame kde sú udané 3 hodnoty, vtedy parameter a nepoznáme, musíme ho vypočítať a vložiť do rovnice ktorú potrebujeme vypočítať. Parameter sa nedá vypočítať obyčajnou rovnicou. Vypočítava sa z parametrickej rovnice, ktorú si ostavíme z rovníc pre hodnoty ktoré sú udané. V minulom blogu som riešil dĺžku x pri výške stĺpca yzh a najnižšej výške reťazovky od zeme azh. Keďže nevieme či hodnota azh sa rovná parametru, znamená to, že zadaná výška stĺpca sa nerovná y. Z toho si môžeme odvodiť predlženie stĺpca p.

Píšem hodnoty ktoré sú zadané ako zh aby sa vedelo ako sa má zostaviť algoritmus. V minulom blogu som počítal dĺžku x. Parameter a som odvodil z parametrickej rovnice, ktorá je odvodená z výpočtu výšky stĺpca y a výpočtu vzdialenosti x podľa vzorca do

tejto rovnice vkladáme za a hodnoty až sa bude hodnota yzh rovnať zadanej hodnote. Odvodený parameter z algoritmu vložíme do rovnice pre výpočet dĺžky x.

Keď nepoznáme s a poznáme yzh, xzh a azh tak algoritmus sa zjednoduší

odvodený parameter vložíme do vzorca pre s

Keď poznáme hodnoty szh, xzh a azh môžeme vypočítať výšku stĺpca s predĺžením y+p. Parameter odvodíme zo vzorca pre dĺžku reťaze szh alebo vzdialenosti xzh

y+p vypočítame podľa vzorca

Na výpočet parametrických rovníc existuje veľa spôsobov. Dnes ale najlepšie je urobiť program v počítači podľa algoritmov a parameter je určený v zlomku sekundy.

Niečo o hyperbole II.

12.03.2025

V predchádzajúcom blogu https://aldebaran.blog.pravda.sk/2024/12/04/nieco-o-hyperbole/ som písal, že polovica hyperbolického uhla je určená plochou S Na vysvetlenie je potrebné odvodiť integrál, ktorý môžeme prepísať na neurčitý integrál pretože výsledok bude rovnaký Integrály pod odmocninou sa priamo nedajú vypočítať, preto ich musíme [...]

Balistické rakety

10.01.2025

V poslednom obdobý sa veľa hovorí o balistických raketách tak niečo o nich napíšem Prvá balistická raketa bola nemecká V 2. Vyletela kolmo, pomocou klapiek na krídlach a nasmerovaním ťahu nastavila sa na balistickú dráhu. Azimut sa nastavoval podľa rádiového lúča a sklon dráhy bol nastavený podľa gyroskopu. Tieto údaje spracoval analógový počítač [...]

Niečo o hyperbole

04.12.2024

Musím požiadať o prepáčenie, že do tejto búrlivej doby píšem blog z matematiky. Dávnejšie som písal o výpočte reťazovky a tam boli hodnoty hyperbolického sínusu, hyperbolického kosínusu a inverzný hyperbolický sínus. odkiaľ sa tieto hodnoty vlastne dostali. Pokúsim sa to vysvetliť pomocou rovnice kružnice. Rovnica kružnice je x2+y2=r2. r je polomer ktorý zviera uhol t [...]

vojna na Ukrajine

ONLINE: Bild: Hľadá sa cesta, ako dostať Patrioty na Ukrajinu. Trump svoje nedá

19.07.2025 08:05

Podľa denníka Bild Nemecko nielenže zaplatí, ale pravdepodobne bude musieť poslať vlastný Patriot, pretože Trump sa odmieta vzdať svojich zbraní.

Lanovka Lomnický štít

Observatóriá vo Vysokých Tatrách opäť majú deň otvorených dverí

19.07.2025 07:46

Vysokohorské observatóriá na Lomnickom štíte a Skalnatom Plese opäť otvárajú svoje brány verejnosti.

Leyenová, zelenskyj

Nemecký kancelár Merz pochybuje, že Ukrajina bude v EÚ do roku 2034. Von der Leyenová ju tam vidí oveľa skôr

19.07.2025 07:10

Nemecký kancelár Friedrich Merz pochybuje, že by sa Ukrajine podarilo vstúpiť do Európskej únie pred rokom 2034.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 51
Celková čítanosť: 216766x
Priemerná čítanosť článkov: 4250x

Autor blogu

Kategórie