aldebaran.pravda.sme

Do korovírusovej doby pokračujem v svojich neaktuálnych blogoch o hmote. Dostal som sa trochu na začiatok zaujímavého fenómenu, časticiam v priestore pre ktoré neplatí klasická mechanika. Pre tento blog je potrebná aj dosť veľká predstavivosť.

Predstavme si atóm vodíka. Ten má jadre 1 protón ktorý má kladný náboj a vo vzdialenosti r_e obieha okolo rýchlosťou v_e elektrón. Priťahujú sa elektrostatickou silou F_qe.  Aby elektron nepadol do jadra musí mať dostatočnú odstredivú silu F_oe.

vynásobením dostaneme vzorec

Elektróny sa pohybujú v atómoch podľa Rhuterforda po eliptických dráhach podobne ako planéty. Ale Bohr vypočítal vlastnosti elektrónov ako keby sa otáčali v rovnomerných vrstvách. Energie elektrónov vo vrstvách musia byť kvantované, pretože každá vrstva má iný polomer a elektrón medzi nimi nemôže obiehať. Pri preskoku elektrónu z jednej vrstvy na druhú, jeho energia bude rovnajúcu sa rozdielom energie v orbitáloch elektrónu E_f =ΔE_o1 -ΔE_o2. Znamená to, že moment hybnosti elektrónu vodíka L_pe musí byť rovný Planckovej konštante h.   Pre elektrón vo vodíku vychádza vzorec

2πr obvod kruhu čo je rovný dĺžke vlny λ.

r_e je polomer atómu, v_e je rýchlosť elektrónu m_e je hmotnosť elektrónu  q_e je elektrický náboj elektrónu a protónu a h je Planckova konštanta. Poznáme hodnotu m_e a ostané sú konštanty. Z týchto rovníc si môžeme vypočítať polomer atómu vodíka a rýchlosť elektrónu v orbitále. pre výpočet polomeru sa počíta z rovnosti síl, podľa vzorcov

vynásobením dostaneme rovnicu

úpravou rovnice na ľavej strane dostaneme vzorec

vydelením m_e a πdostaneme vzorec s ktorého si môžeme odvodiť polomer atómu vodíka r_e

rovnice pre silu upravíme na tvar

podľa vyjadrenia základného momentu hybnosti elektrónu dostaneme v vzorec

vydelením h dostaneme vzorec pre rýchlosť elektrónu v orbitále vodíka

Elektróny sa pohybujú v orbitaloch ktoré môžu mať 7 energetických hladín n a atómy majú Z protónov. Vzorec pre polomer elektrónu v danej hladine r_ne kde atóm má Z protónov  je

podobne pre rýchlosť r_ne platí vzorec

Z týchto vzorcov si môžeme odvodiť vzorce pre energie, kde poznáme konštanty a hmotnosť elektrónu. Pre kinetickú energiu elektrónu je vzorec E_ke

Pre elektrostatickú energiu elektrónu E_qe má vzorec záporné znamienko, pretože pôsobí proti kinetickej energii, vzorec je

Celková energia elektrónu vo vodíkovomo atóme má vzorec

Po dosadení dostaneme výsledný vzorec

Môžeme si to predstaviť ako vlniaci mrak okolo jadra, pretože elektrón je zároveň častica ale aj vlnenie. Elektrón musíme uvažovať ako statickú vlnu okolo jadra. Elektróny obiehajú v orbitáloch. V každom orbitále môžu byť iba dva elektróny. orbitálov sú 4 druhy s p d f, ktoré sa líšia tvarom resp. koľko orbitálov môže byť v jednej vrstve. s orbitál môže byť iba jeden vo vrstve, p má 3 orbitály d 5 orbitálov f 7 orbitálov.  Číslo pred orbitálom udáva v ktorej vrstve sa nachádza.  v 7 vrstvách 1K 2L 3M 4N  5O 6P 7Q.  počet orbitálov vo vrstvach 1K 1s, 2L 2s 2p, 3M 3s 3p 3d, 4N 4s 4p 4d 4f, 5O 5s 5p 5d 5f, 6P 6s 6p 6d,  7Q 7s 7p, ostatné orbitály nie sú obsadené. Dole na grafe vidno medzi ktorými orbitálmi môže preskočiť elektrón. Poradie je 1s; 2s; 2p->3s; 3d->4p->5s; 4f->5d->6p->7s; 5f->6d->7p. Elektrón preskakuje z nižšej vrstvy na vyššiu, do orbitálu ktorý má o 4 elektrony menej. Na grafe je zakreslené  šípkami. Vedľa sú znázornené stojacie vlny orbitálov.

Dokopy môžu byť až 118 elektrónov tzn. že najťažší prvok má protónové číslo 118. Tento prvok bol už umelo vytvorený, nazvali ho Osmium.

Z rovnice momentu hybnosti si môžeme určiť hybnosť elektrónu p_e a vlnovú dĺžku λ_e elektrónu podľa rovnice

Energiu môžeme prepočítať aj na energiu fotónu

z toho môžeme určiť aj zdanlivú hybnosť fotónu p_f

Tieto vzorce môžeme použiť aj na iné častice. Častice môžeme urýchliť aj na rýchlosť blízku rýchlosti svetla, potom ale musíme zarátať aj relativistickú hmotnosť častice do vzorca, m=γm₀. Úplný vzorec pre de Broglieho vlny je

λ je vlnová dĺžka častice m hmotnosť častice a v je rýchlosť častice. Znamená to, že častica je zároveň aj vlna, má svoju vlnovú dĺžku λ.  Tieto vzorce boli mnoho krát dokázané. Prvý krát na princípe rozptýlenia, (difrakcii pomalých elektrónu pri dopade na kryštály niklu. Meranie vzdialenosti difrakčných čiar na tienidle potvrdilo správnosť výpočtov. Tým bolo potvrdené, že aj elektróny sa šíria aj ako vlny resp. že elektrón je vlna a zároveň častica. Bol to správny predpoklad, že všetky častice včítane molekúl sa môžu šíriť duálne. Dnes na tom princípe pracujú napr. elektrónové mikroskopy.