Založ si blog

Začiatky kvantovej mechaniky

Do korovírusovej doby pokračujem v svojich neaktuálnych blogoch o hmote. Dostal som sa trochu na začiatok zaujímavého fenómenu, časticiam v priestore pre ktoré neplatí klasická mechanika. Pre tento blog je potrebná aj dosť veľká predstavivosť.

Z približných rovností energii elektrónu ktorý obieha jadro, (protón vodíka, kinetická Eke, elektrostatická Ees a energia kvantovaná Eωe, si môžeme odvodiť výpočet pre  rýchlosť elektrónu vω.  Odvodenie je zo vzorca

r  je polomer atómu, ω je uhlová rýchlosť elektrónu me je hmotnosť elektrónu vω, qe je elektrický náboj elektrónu a protónu a ħ je redukovaná planckova konštanta.

Vynásobením rovnice pre kinetickú energiu a rovnicu energie elektrónu vyjadrenú planckovou konštantou, dostaneme vzorec pre vzdialenosť r.To nie je skutočná vzdialenosť elektrónu od jadra, upraví sa to až v rovnici pre výpočet rýchlosti elektrónu okolo jadra. Do rovnice Eke ~Ees  vložíme hodnotu za r  z prvej rovnice aj násobok r, n ktorý určuje vrstvu v ktorej elektrón obieha. V rovnici sa dvojka vykráti aj

člen mevω sa vykráti. Dostaneme vzorec pre rýchlosť obehu elektrónu okolo jadra v danej vrstve vω

Nemusíme poznať žiadne hodnoty všetko je odvodené z konštánt. Kinetickú energiu elektrónu podľa toho vzorca môžeme napísať ako Eke=mevω2. Podľa toho sa upraví vzťah pre polomer atómu vodíka podľa vzorca

Zo vzorca pre polomer kruhu môžeme odvodiť obvod kruhu resp. dĺžku dráhy po ktorej obieha elektrón v atóme vodíka 2πr zo vzorca

Keby sme uvažovali, že elektrón bude obiehať ako gulička okolo jadra znamenalo by to, že by musel strácať energiu a časom padnúť do jadra. Francúzsky kvantový fyzik Louis Victor de Broglie predpokladal, že keď je elektrón iba elektrický elementárny náboj, musí obiehať okolo jadra ako vlna. Uvažoval, že jeho vlnová dĺžka λ bude dráha 2πr po ktorej elektrón obieha okolo jadra. Ale neuvažoval iba elektrón okolo jadra, ale uvažoval aj iné častice ktoré sa pohybujú priestorom a majú hmotnosť m. Rýchlosť krát hmotnosť je hybnosť p. Vychádzal s rovnice pre dĺžku dráhy elektrónu vodíka. Podľa toho odvodil rovnicu pre vlnovú dĺžku častice

Častice môžeme urýchliť aj na rýchlosť blízku rýchlosti svetla, potom ale musíme zarátať aj relativistickú hmotnosť častice do vzorca, m=γm0. Úplný vzorec pre de Broglieho vlny je

Znamená to, že keď častica je zároveň aj vlna, tak má aj svoju vlnovú dĺžku λ a uhlovú rýchlosť ω, ktoré závisia o rýchlosti častice v. Tieto vzorce boli mnoho krát dokázané. Prvý krát na princípe rozptýlenia, (difrakcii pomalých elektrónu pri dopade na kryštály niklu. Meranie vzdialenosti difrakčných čiar na tienidle potvrdilo správnosť výpočtov. Tým bolo potvrdené, že aj elektróny sa šíria aj ako vlny resp. že elektrón je vlna a zároveň častica. Bol to správny predpoklad, že všetky častice včítane molekúl sa môžu šíriť duálne. Dnes na tom princípe pracujú elektrónové mikroskopy

Pri pohybujúcom telese môžeme pomerne presne zmerať rýchlosť na úseku dráhy Δx. Môžeme pomerne presne zmerať zmenu času Δt za ktoré prejde teleso vzdialenosť Δx. Zmena dráhy Δx na zmene času Δt udáva priemernú rýchlosť Δv. Pohybujúce teleso má kinetickú energiu Ek. Priemernú kinetickú energiu ΔEk  si môžeme odvodiť z priemernej rýchlosti Δv  podľa vzorca

Vynásobením m dostaneme priemernú hybnosť na druhú (Δp)2 podľa vzorca

S toho vychádza priemerná hybnosti Δp

Ale tak nemôžeme merať polohu a rýchlosť častice. Častica je aj vlna, ktorá má svoju vlnovú dĺžku tzn. že má aj svoju uhlovú frekvenciu ω. Hybnosť častice odvodíme z kinetickej energie častice. Základný vzorec odvodíme zo vzorca pre energiu elektrónu vo vodíkovom atóme. Priemerná rýchlosť elektrónu sa rovná jeho obehovej rýchlosti vω. Keď vložíme hodnoty do rovnice pre elektrón Eke~Eωe a vynásobíme hmotnosťou elektrónu me dostaneme vzorce

Elektrón má kinetickú energiu  Eke= mevω2 tzn. že Δp je zmena hybnosti, nie priemerná hybnosť

Častica sa môže pohybovať aj inak ako elektrón okolo jadra. Ale jej dráha bude kvantovaná podobne ako polomer elektrónov v jednotlivých vrstvách. Polohu častice môžeme zmerať tak, že vystrelíme do častice fotón. V rovnici Eke~Eωe miesto polomeru r  použijeme zmenu dráhy Δx. Miesto uhlovej rýchlosti vω=ωr je vzorec vω= ωΔx. Dole na obrázku je princíp zmerania polohy častice. Zelený je vystrelený gamafotón červený je odrazený ktorý interferoval. Uhol rozptylu θ nám udáva odchýlku Δx.

Fotón má svoju energiu E=h∙f . Pretože má energiu a rýchlosť c, má aj svoju zdanlivú hybnosť podľa vzorca

Vzdialenosť, polohu častice môžeme zmerať tak, že fotón s veľkou hybnosťou vystrelíme na časticu a zmeriame uhol odrazeného fotónu a jeho vlnovú dĺžku. Čím je vlnová dĺžka fotónu kratšia tým má fotón vyššiu zdanlivú hybnosť a polohu častice zmeriame presnejšie. Tým, že fotón narazí na časticu zmení jej hybnosť. Nemôžeme pri častici merať zároveň polohu aj hybnosť pretože meranie polohy ovplyvňuje hybnosť častice a pri meraní rýchlosti častice musíme použiť fotón ktorý ma malú hybnosť. V podstate meriame interferenciu vĺn odrazených fotónov. Pri telese môžeme merať rýchlosť aj polohu pomerne presne. Hybnosť telesa je o veľa rádov vyššia ako hybnosť častice a rýchlosť telesa býva oveľa nižšia ako rýchlosť samotnej častice. Teleso svoj rozmer pohybom nemení ale častica mení rýchlosťou svoju vlnovú dĺžku. Meriame frekvenciu odrazeného fotónu a uhol θ, frekvenciu vystreleného fotónu poznáme. Namerané hodnoty závisia od vlnovej dĺžke častice.

Keď do vzorca pre kinetickú energiu elektrónu vložíme vzorec pre rýchlosť vω= ωΔx, a vydelíme členom meω2 dostaneme vzťah podľa vzorca

Z toho si môžeme odvodiť odchýlku Δx  podľa vzorca

Vynásobením rovníc pre odchýlky hybnosti a polohy dostaneme rovnicu

Táto rovnica hovorí čím bude jedna hodnota odchýlky väčšia tým meraná hodnota bude presnejšia. Napr. meraním polohy potrebujeme fotón s čo najvyššou hybnosťou. Odchýlka Δx musí byť čo najmenšia tzn. že odchýlka Δp musí byť čo najväčšia. Fotón s vysokou energiou zmení hybnosť častice viac ako fotón s malou energiou. Vyplýva to zo vzorca

 

Podobne to bude aj pre odchýlku hybnosti

Odvodil to nemecký teoretický fyzik Werner Karl Heisenberg v roku 1927 podľa určitého myšlienkového mikroskopu

 

Obvod elipsy

19.07.2021

Trochu neskoro reagujem na článok o elipse, ktorý písal pán Bednár. V jeho blogu je uvedené, že veľkosť obvodu elipsy sa nedá vypočítať. Skutočne je to pravda, skúsim to vysvetliť. Keď uvážime fakt, že π má nekonečne veľa číslic za desatinnou čiarkou tak ani veľkosť kružnice sa presne nedá vypočítať. Najprv vysvetlím niečo o elipse. Elipsa je v podstate [...]

Nekonečno v guli

18.01.2021

Chcem napísať blog o Schrodingerových vlnových funkciách. Pri nich je potrebné vedieť niečo o sférických súradniciach. Sférické súradnice vychádzajú v podstate z rovnice gule. Našiel som jedno zaujímavé video o objeme guli. Chcel by som to jednoduchšie popísať a doplniť. V škole sme sa učili, že objem gule je 4/3∙πr3. Tento vzorec sa dá pomerne ľahko odvodiť [...]

Vlnová funkcia

21.10.2020

Do dnešnej hnusnej doby napíšem neaktuálny blog z histórie fyziky. Rakúsko škótsky fyzik Ervín Schrodinger geniálne vysvetlil vlnovo časticovú povahou elementárnych častíc. Vysvetlil to matematicky na základe vlnovej funkcie. Chcem niečo o tom napísať, ale najprv musím vysvetliť čo je vlnenie vo fyzike. Mechanickú vlnu si môžeme vidieť keď vhodíme do vody [...]

heger, matovič, krajniak

Heger verí, že nikto z koalície nebude brániť očiste v polícii

17.09.2021 17:57

Podľa Krajniaka odznelo na tlačovej konferencii niečo iné, než čo sa dialo na zasadnutí rady.

rusko Putin

Putin odovzdal svoj hlas vo voľbách prvýkrát elektronicky. Naďalej je v izolácii

17.09.2021 17:38

Občania Ruskej federácie majú počas troch dní možnosť voliť poslancov Štátnej dumy a ďalších zastupiteľských orgánov.

Václav Klaus

Klausa prepustili z nemocnice, predtým mal "šialene vysoký tlak"

17.09.2021 17:35

V rovnakej nemocnici leží aj prezident Zeman.

taliban

Taliban nariadil študentom návrat do škôl, nie však dievčatám

17.09.2021 17:10

Do škôl sa môžu vrátiť len žiačky v prvej až šiestej triede.