Založ si blog

Nekonečno v guli

Chcem napísať blog o Schrodingerových vlnových funkciách. Pri nich je potrebné vedieť niečo o sférických súradniciach. Sférické súradnice vychádzajú v podstate z rovnice gule. Našiel som jedno zaujímavé video o objeme guli. Chcel by som to jednoduchšie popísať a doplniť.

V škole sme sa učili, že objem gule je 4/3∙πr3. Tento vzorec sa dá pomerne ľahko odvodiť pomocou ale integrálov, ale nie každý by tomu rozumel pretože funkcia na integrovanie je pomerne zložitá. Objem gule si môžeme sčasti nahradiť objemom naskladaných valčekov s rovnakou výškou ktoré sa dotýkajú jednou podstavou povrchu gule. Vyzerá to ako pyramída v gule. Čím bude tých valčekov viac tým výpočet objemu gule bude presnejší. Keď bude tých valčekov nekonečné množstvo, tak ich celkový objem sa bude rovnať objemu gule. Pre názornosť som nakresli taký nepodarený obrázok, ale na pochopenie to stačí. Rozdelíme  guľu na polovicu. Polomer rozdelíme na rovnakých n časti, zmestí sa tam n-1 valčekov.

 

dav

Na obrázku je znázornený rez vrchnej pologule v ktorej sú uložené valčeky, tak ako som opísal. Objem valčeka je podstava krát výška. Výška v našom prípade je výška válčeka v=r/n. Podstavu má každý valček inú, pretože každý má iný polomer. Jeho polomer označíme ako xi. je to preto lebo jeho polomer je rovnobežný s osou x a i určuje poradový valček od osy x. Ja som si rozdelil polguľu na 5 častí tzn. že sú tam 4 valčeky. Polomer r sa dotýka 3. valčeka na vrchnej podstave. Dostávame pravouhlý trojuholník, kde poznáme hodnotu yi a r.  hodnotu yi má vzorec

 yi=r∙i/n. Druhá mocnina má vzorec

Podľa Pytagorovej vety si môžeme odvodiť vzorec pre vzdialenosť  xi.

Keď vložíme rozpísanú hodnotu za xi do vzorca pre valček, dostaneme vzorec pre objem daného valčeka

Rozmásobením dostaneme vzorec

Ale tých valčekov tam mám 4 tzn. musím n2 vynásobiť (n-1) a spočítať i2. Dostaneme vzorec

Vzorec suma kde hore je n-1 a dole je i2=1 znamená, že spočítavame druhé mocniny itych čísel. Dosadením čísel podľa nákresu dostaneme vzorec

Pre výsledný objem valčekov VVi dostaneme vzorec.

 

Čím bude n väčšie, tým presnejší výsledok dostaneme. Výpočet sumy kde n je vysoké je veľmi prácny.  Musíme nájsť nejaký systém ako spočítať ľubovoľný počet prirodzených čísel, ktoré idú za sebou. Môžeme si to predstaviť na rovnováhe páky. Aby na páke nastala rovnováha musí byť súčet točivých momentov Fr rovnaký na oboch poloviciach. Jeden príklad je znázornený je na spodnom obrázku.

Na závažia pôsobí gravitačné zrýchlenie rovnako, preto budeme uvažovať iba hmotnosti m a vzdialenosť od bodu P. Vzdialenosť medzi bodom P a posledným závažím je n. Uvažujme, že vzdialenosť medzi dvoma závažiami aj medzi prvým závažím a bodom P je 1. Predpokladajme, že závažia sú rovnaké. Potom pre prvé platí m∙1, pre druhé m∙2 a postupne až pre n-té závažie m∙n. Chceme ho nahradiť jedným závažím o hmotnosti M na druhej strane, ktorého hmotnosť rovná sa súčtu závaží na druhej strane páky. Keďže závažia sú rovnaké tak ich násobíme ich počtom. Keďže vzdialenosti medzi závažiami je 1, tak počet závaží je n. Dostaneme vzorec M=mn. Aby páka bola v rovnováhe, tak vzdialenosť hmotnosti M od bodu P sa musí rovnať vzdialenosti ťažiska na druhej polovici páky. Ťažisko je medzi dvoma koncovými závažiami je presne v strede, pretože hmotnosti a vzdialenosti sú rovnako rozložené. Podľa obrázka môžeme napísať rovnicu pre vzdialenosť ťažiska od bodu P.

Vynásobením počtom hmotností dostaneme vzorec

Keď vyhodíme m dostaneme vzorec pre sumu kde i je prirodzené číslo od 1 až po n

Ale mi máme súčet druhých mocnín. Tiež sa to dá znázorniť na rovnováhe na páke, ale hmotností je tam viac. Znázorňuje to obrázok dole

Pretože závažia sú rovnaké tak ich súčet je je súčet prirodzených čísel.

V prvom bode je 1m v druhom bode 2m a v n-tom bode nm. Výsledná hmotnosť M v tom prípade je

Ale mení sa vzdialenosť d. Pospájaním hmotností podľa obrázku dostaneme trojuholník. Z fyziky vieme, že ťažisko v trojuholníku je v priesečnici ťažníc. Vzdialenosť priesečníka je 2/3 dĺžky ťažnice od vrcholu trojuholníka. Z toho vychádza vzorec pre dĺžku d.

Vynásobením dostaneme rovnicu

Z toho vychádza rovnica pre súčet druhých mocnín prirodzených čísel

Ale máme vzorec konečné číslo je n-1. Musíme miesto n dosadiť do vzorca n-1. Vložením  dostaneme  vzorec

Po roznásobení dostaneme konečný vzorec pre n-1 a i2.

Odrátaním členov v zátvorke

dostaneme výsledok

Vynásobením πr3 vychádza vzorec pre súčet objemov valčekov

 

Keď by sme uvažovali, že počet valčekov by bol nekonečný, v zátvorke dostaneme  hodnotu

Vynásobením 2πr3 dostaneme vzorec pre  objem  gule

Ospravedlňujem sa, že som nenapísal článok o aktuálnej politickej situácii. Dúfam, že si to niekto aj prečíta

Obvod elipsy

19.07.2021

Trochu neskoro reagujem na článok o elipse, ktorý písal pán Bednár. V jeho blogu je uvedené, že veľkosť obvodu elipsy sa nedá vypočítať. Skutočne je to pravda, skúsim to vysvetliť. Keď uvážime fakt, že π má nekonečne veľa číslic za desatinnou čiarkou tak ani veľkosť kružnice sa presne nedá vypočítať. Najprv vysvetlím niečo o elipse. Elipsa je v podstate [...]

Vlnová funkcia

21.10.2020

Do dnešnej hnusnej doby napíšem neaktuálny blog z histórie fyziky. Rakúsko škótsky fyzik Ervín Schrodinger geniálne vysvetlil vlnovo časticovú povahou elementárnych častíc. Vysvetlil to matematicky na základe vlnovej funkcie. Chcem niečo o tom napísať, ale najprv musím vysvetliť čo je vlnenie vo fyzike. Mechanickú vlnu si môžeme vidieť keď vhodíme do vody [...]

Heisenbergov myšlienkový mikroskop

27.05.2020

Heisenbergova teória neurčitosti potrebuje podrobnejšie vysvetlenie. V minulom blogu som začal trochu od stredu. Pokúsim sa to v tom blogu lepšie vysvetliť. Základná Heisenbergova rovnica mala pôvodne vzorec Vychádzal z fotoelektrického javu. Keď fotón vyrazí elektrón z hmoty, tak musí pôsobiť aj na pohybujúci elektrón. Keď fotón narazí do letiaceho elektrónu, zmení [...]

pocasie-2-8-2021

Zabudnite na tridsiatky, horúčavy si dajú pauzu. Dokedy?

01.08.2021 22:34

Slovensko už nebude také žeravé ako predtým. S tlakovou nížou prišiel aj chladnejší vzduch. Ako bude vyzerať prvý augustový týždeň?

Veronika Remišová

Remišová: Očkovacia lotéria je len doplnok, nie hlavný nástroj

01.08.2021 21:24

Očkovacia lotéria je len doplnkový nástroj na zvýšenie motivácie očkovať sa proti ochoreniu COVID-19, rozhodne nie hlavný pilier.

Požiare v Turecku

Oddych v Turecku ničia plamene. Útočí aj vírus

01.08.2021 20:00

Dovolenka vo viacerých tureckých letoviskách má ohnivú podobu. A aby nešťastia nebolo málo, počet nových prípadov nákazy koronavírusom je na vzostupe.

Hlavna Porec

Chorváti zadržali Nemcov, ktorí nechali deti a psa v rozpálenom aute

01.08.2021 19:39

Chorvátska polícia zadržala nemecký pár za to, že nechal v horúčave v zamknutom aute so zatvorenými oknami svoje dve deti a psa.