Založ si blog

Nekonečno v guli

V škole sme sa učili, že objem gule je 4/3∙πr3. Tento vzorec sa dá pomerne ľahko odvodiť pomocou integrálov, ale nie každý by tomu rozumel pretože funkcia na integrovanie je pomerne zložitá. Objem gule si môžeme sčasti nahradiť objemom naskladaných valčekov s rovnakou výškou ktoré sa dotýkajú jednou podstavou povrchu gule. Vyzerá to ako pyramída v gule. Čím bude tých valčekov viac tým výpočet objemu gule bude presnejší. Keď bude tých valčekov nekonečné množstvo, tak ich celkový objem sa bude rovnať objemu gule. Pre názornosť som nakresli taký nepodarený obrázok, ale na pochopenie to stačí. Rozdelíme  guľu na polovicu. Polomer rozdelíme na rovnakých n časti, zmestí sa tam n-1 valčekov.

Na obrázku je znázornený rez vrchnej pologule v ktorej sú uložené valčeky, tak ako som opísal. Objem valčeka je podstava krát výška. Výška v našom prípade je výška válčeka v=r/n. Podstavu má každý valček inú, pretože každý má iný polomer. Jeho polomer označíme ako xi. je to preto lebo jeho polomer je rovnobežný s osou x a i určuje poradový valček od osy x. Ja som si rozdelil polguľu na 5 častí tzn. že sú tam 4 valčeky. Polomer r sa dotýka 3. valčeka na vrchnej podstave. Dostávame pravouhlý trojuholník, kde je vyznačené strany yi, xi a prepona r.  hodnotu yi má vzorec yi=r∙i/n. Podľa Pytagorovej vety si môžeme odvodiť (xi)2 podľa vzorca

Objem valčeka má vzorec Vv=πr2∙v. Vložení do rovnice hodnoty pre xi a v dostaneme vzorec pre objem daného valčeka

Celkový súčet válčekov je (n-1). Valčeky nasledujú v poradi 1+2+3+4…. To znamená že i sa priratava po 1. Vzorec pre súčet je

Pomer n2/n3 je pre každý valček rovnaký. Pretože potrebujeme spočítať iba  i2 , musíme vynásobiť počtom valčekov máme n-1. Z toho dostávame upravený vzorec pre sumu

Z toho dostávame vzorec pre súčet objemu valčekov VΣVi

Čím bude n väčšie, tým presnejší výsledok dostaneme. Výpočet sumy kde n je vysoké je veľmi prácny.  Musíme nájsť nejaký systém ako spočítať ľubovoľný počet prirodzených čísel, ktoré idú za sebou. Môžeme si to predstaviť na rovnováhe páky. Aby na páke nastala rovnováha musí byť súčet točivých momentov F∙r rovnaký na oboch poloviciach. Jeden príklad je znázornený je na spodnom obrázku.

Na závažia pôsobí gravitačné zrýchlenie rovnako, preto budeme uvažovať iba hmotnosti m a vzdialenosť od bodu P. Vzdialenosť medzi bodom P a posledným závažím je n. Uvažujme, že vzdialenosť medzi dvoma závažiami aj medzi prvým závažím a bodom P je 1. Predpokladajme, že závažia sú rovnaké. Potom pre prvé platí m∙1, pre druhé m∙2 a postupne až pre n-té závažie m∙n. Chceme ho nahradiť jedným závažím o hmotnosti M na druhej strane, ktorého hmotnosť rovná sa súčtu závaží na druhej strane páky. Keďže závažia sú rovnaké tak ich násobíme ich počtom. Keďže vzdialenosti medzi závažiami je 1, tak počet závaží je n. Dostaneme vzorec M=m∙n. Aby páka bola v rovnováhe, tak vzdialenosť hmotnosti M od bodu P sa musí rovnať vzdialenosti ťažiska na druhej polovici páky. Ťažisko je medzi dvoma koncovými závažiami je presne v strede, pretože hmotnosti a vzdialenosti sú rovnako rozložené. ale ťažisko je v strede medzi závažiami. Keď bude vzdialenosť medzi závažiami 1 tak celková vzdialenosť medzi závažiami je n-1. Na páke sú závažia posunuté o 1. Podľa toho si môžeme určiť vzdialenosť ťažiska d, ktoré sa rovná vzdialenosti bodu P. Z toho môžeme odvodiť vzorec

vynásobením hmotnosti m dostaneme vzorec

Keď vyhodíme m dostaneme vzorec pre sumu kde i je prirodzené číslo od 1 až po n

Ale mi máme súčet druhých mocnín. Tiež sa to dá znázorniť na rovnováhe na páke, ale hmotností je tam viac. Znázorňuje to obrázok dole

Závažia sú rozložené do radov, ktoré nasledujú za sebou tak, že každý rad má o jednu hmotnosť viac. Zavážia majú medzi sebou rovnakú vzdialenosť, preto vytvárajú rovnomerný trojuholník na osi podľa obrázku hore. Výsledná hmotnosť M v tom prípade je súčet všetkých hmotností

Pretože zavážia vytvárajú rovnostranný trojuholník mení sa vzdialenosť d. Z fyziky vieme, že ťažisko v trojuholníku je v priesečnici ťažníc. Vzdialenosť priesečníka od vrcholu je 2/3 vyšky trojuholníka. Z toho vychádza vzorec pre dĺžku d.

Vynásobením hmotnosťou m dostaneme rovnicu

odobratím hmotnosti m dostaneme vzorec pre sumu druhých mocnín i2

rozpísaním sumy v pôvodnom vzorci získame rovnicu

prvý člen v základnej rovnici môžeme rozpísať podľa vzorca

odčítaním dostaneme výsledok

vložíme do vzorca a získame výsledok

keď použijeme nekonečne veľa válčekov dostaneme výsledok

po vykrátení

vložením do rovnice a vynásobením 2 získame vzorec pre objem gule Vg

Využitie jadrových síl III

13.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcich blogoch. Dúfam, že mi prepáčite, že nepíšem o politike. Pred vojnou v Nemecku bolo objavené štiepenie uránu. Po objavení kritického množstva, začali Nemeckí vedci zlúčení okolo Heisenberga uvažovať ako by sa dala využiť energia, ktorá sa uvoľní pri lavínovej reťazovej reakcii vo vojenskej oblasti. Uvedomovali si, že môžu vyrobiť [...]

Využitie jadrových síl II

08.11.2023

Pokračujem v predchádzajúcom blogu o jadrových o využití jadrových síl. Keď dopadne na atóm uránu 235U neutrón s malou energiou, tak ho pohlti a vznikne izotop 236U. Jadro atómu 236U sa rozpadne na 2 jadrá ktoré majú menšiu atómovú hmotnosť a od seba odletia. Pri tom sa uvoľnia aj 2 alebo 3 neutróny s vyššou energiou. Predstavme si, že máme oproti sebe 2 rovnaké [...]

Využitie jadrových síl

01.11.2023

Do tejto prepolitizovanej doby chcem napísať blog ktorý je mimo diania okolo nás. Napíšem niečo z histórie fyziky. Jadrá atómov drží pokope tzv. silná jadrová sila. Je taká silná, že dokáže udržať pokope aj protóny medzi ktorými pôsobia veľmi silné elektrostatické odpudivé sily. Jadrová sila pôsobí len na veľmi malé vzdialenosti. Jadrá atómov sú preto veľmi [...]

Boris Kollár

Boris Kollár chystá návrat do veľkej politiky

05.10.2024 07:05

Hnutie Sme rodina po prehratých parlamentných voľbách potrebovalo čas na konsolidáciu, povedal Boris Kollár.

Náboženstvo / Kresťanstvo / Cirkev / Kríž / Modlitba / Viera /

Varšavský arcibiskup vyzval na povinnú výuku náboženstva, aby mladí lepšie porozumeli svetu

05.10.2024 07:00

Varšavský arcibiskup kardinál Kazimierz Nycz vyzval na to, aby sa teraz nepovinná výučba náboženstva stala povinnou pre všetkých žiakov.

New York, One World Observatory, One World Trade Centre, WTC, vyhliadková plošina, Manhattan, Ground Zero

USA neobnovia právny štatút pre státisíce migrantov

05.10.2024 06:48

Administratíva amerického prezidenta Joea Bidena neobnoví program dočasného humanitárneho vstupu pre státisíce migrantov.

Trump

Trump: Izrael by mal zasiahnuť iránske jadrové zariadenia

05.10.2024 06:09

Donald Trump vyhlásil, že Izrael by mal v reakcii na nedávny raketový útok islamskej republiky zaútočiť na iránske jadrové zariadenia.

Štatistiky blogu

Počet článkov: 48
Celková čítanosť: 182167x
Priemerná čítanosť článkov: 3795x

Autor blogu

Kategórie