aldebaran.pravda.sme

Pokračujem v mojich apolitických nezaujímavých blogoch o elektromagnetizme.,

So samostatných parciálnych rovníc nemôžeme nič vyrátať, ale môžeme si ich prispôsobiť pre konkrétne výpočty. Taký príklad je indukčnosť cievky alebo vodiča. Pomer magnetického toku Φ cievky, ktorý vyvolá stály prúd I, dostaneme rozmery cievky, dĺžka l, prierez S, počet závitov N a permeabilitu  µ. Pri prúde i, ktorý mení svoju veľkosť v závislosť na čase nastáva zmena magnetického toku. Nastane situácia keď každý závit bude indukovať napätie do druhého závitu tzn. že počet závitov sa znásobí z toho si môžeme odvodiť vzorec pre indukčnosť cievky L_C 

Aj vodič má svoju indukčnosť L_V. Ale odvodnenie výpočtu indukčnosti vodiča je komplikovanejšie. Môžeme si to odvodiť z výpočtu magnetického toku okolo vodiča, ktorý má dĺžku l. Indukciu okolo vodiča si môžeme predstaviť ako kruhovú siločiaru okolo vodiča polomerom r ktorého vzdialenosť sa počíta od povrchu vodiča. Vo vákuu má permeabilitu µ₀. Plochu cez ktorú prechádza je kolmá na siločiary. Plocha vyzerá ako prierez plášťa válčeka. Každý válček má inú vzdialenosť r od polomeru vodiča r_v až polomer r_max tzn. na každom válčeku je iná indukcia ktorá preteká cez elementárnu hrúbku válčeka dr a ktorý má dĺžku l. Znamená to, že cez prierez plášťa každého pomyselného valčeka prechádza elementárny magnetický tok dΦ. Zintegrovanim všetkých elementárnych magnetických tokov dostaneme magnetický tok Φ

Indukciu si odvodíme zo vzorca, kde môžeme odvodiť aj polomer r

z rozmerov r a l si môžeme vyjadriť elementárny prierez ds

elementárny tok dostaneme podľa vzorca

Zintegrujeme všetky indukcie, ktoré prechádzajú cez elementárne prierezy od povrchu vodiča od polomeru r_v až po vzdialenosť r_max, čo je vzdialenosť od stredu vodiča

Z výpočtov integrálov dostávame rozdiel logaritmov, čo je vlastne delenie, vzorec ná tvar

vynásobením prúdu I dostávame výsledok integrovania

z toho vychádza magnetický tok okolo priamého vodiča vo vákuu

Indukčnosť vodiča sa skladá z vonkajšej indukčnosti L_von, ktorá je odvodená z magnetického toku okolo vodiča a vnútornej indukčnosti L_vn, ktorá je odvodená z hustoty magnetického toku vo vodiči. Zo vzorca pre magnetický tok odvodíme vonkajšiu indukčnosť vynechaním prúdu I a vzdialenosť r_max musíme nahradiť hodnotou, ktorá je odvodená z pevných hodnôt vodiča, dĺžky l a polomeru vodiča r_v. Predstavme si pravouhlý trojuholník ktorý má strany, dĺžka vodiča l a polomer r_v. Jeho prepona je kolmá na stred vodiča a je na osi x. Dĺžka od povrchu vodiča po koniec prepony je vzdialenosť D. Pri zmene prúdu sa zmení magnetický tok na elementárnej zmene dr. Pretože pre indukčnosť neuvažujeme zmenu prúdu, musime zmenu dr nahradiť zmenou dx. Dĺžka l sa nemení a polomer r_v si zameníme za x. Podľa toho môžeme odvodiť vzorec pre integrál

Vynechaním prúdu a itegrovanim tejto derivácie dostaneme podobnú rovnicu ako pre výpočet magnetického toku okolo vodiča. Integrujeme podľa vzorca

Odvodenie integrálu je dosť komplikované, preto píšem iba konečný vzorec integrálu

Keď za x vložíme r_v znamienka sa obrátia pretože integrál dr odratávvame, vložením výsledky integrálov do vzorca dostávame vysledok pre vonkajšiu indukčnosť

Pretože obyčajne polomer r_v je oveľa menší ako ako dĺžka vodiča, tak ho môžeme zanedbať aj v menovateli zlomku, potom a dostávame vzorec

odtaľ dostaneme výsledný zvorec pre vokajšiu indukčnosť

Vodič má aj svoju vnútornú indukčnosť L_vn Môžeme si predstaviť ako keby vnútri vodiča tiekol cez zanedbateľný prierez prúd I ktorý by vytváral magnetické pole okolo seba ale nie tepelné straty. Intenzita prúdu by bola, po povrch vodiča. Pokiaľ by bol vodič z medi alebo hliníka, môžeme relatívnu permeabilitu zanedbať, pretože nie sú magnetický vodivé. Celkový magnetický tok sa sústredí vnútri vodiča, to znamená že v objeme vodiča bude určitá hustota magnetickej energie W_vn. Vnútorná indukčnosť sa môžeme odvodiť z hustoty energie vo vodiči.

z tejto rovnice si môžeme vyjadriť vnútornú indukčnosť vodiča, ktorý je z nemagnetického materiálu napr. hliním a meď

vnútorná indukčnosť vodiča nezáleží od polomeru vodiča r_v pretože, keď sa zväčší polomer tak intenzita H aj indukca B klesne

Výsledná indukčnosť vodiča je súčtom vonkajšej a vútornej indukčnosti podľa vzorca

Indukčnosť priameho vodiča vo vákuu, keď je magnetická vodivosť vodiča je podobná ako magnetická vodivosť vzduchu má vzorec

keď potrebujeme presnejší výpočet pre vnútornú indukčnosť, vložíme do vzorca relatínu permeabilitu vodiča µ_r a dostávame konečný výsledok pre indukčnosť vodiča, keď vložíme metre dostaneme vzorec

Zo základného vzorca môžeme odvodiť rozmerový vzorec. Jednotka indukčnosti je Henri 1H. Z výpočtu vychádza rozmer H je ohm sekunda Ωs. Ohm je jednotka elektrického odporu

Podľa predchádzajúceho rozmeroveho vzorca môžeme odvodiť indukčný odpor X_L vynasobenim indukčnosti L uhlovou frekvenciou ω podľa vzorca

Z toho vzorca vyplýva, že čím je frekvencia vyššia, tým je indukčný odpor väčší.

,Podľa indukčnosti môžeme odvodiť vzorec pre energiu magnetického poľa E_m. Indukované napätie U_i si môžeme odvodiť zo vzorca

Na obrázku je znázornený obvod s jednosmerným zdrojom napätia. U_em , em znamená elektromotorické, pretláča prúd I cez cievku, ktorá má svoju indukčnosť L a elektrický, ohmický odpor R. Prechodom prúdu I cez odpor R vznikajú tepelné straty na závitoch cievky. Pri zapnutí vypínača na indukčnosti cievky nastane veľká zmena prúdu, ktorá časom zanikne. Z toho si môžeme odvodiť vzorec

Integrovanim indukovaného napätia na čase dostávame energiu magnetického poľa podľa vzorca

Správnosť výpočtu si môžeme odvodiť z rozmerového vzorca

Jednotka energie je Joule 1J

V obvode kde je indukčnosť L zapojená do série s odporom R vzniká prechodový jav pri zapnutí obvodu aj pri skratovani obvodu. Je to spôsobené tým že zmenou prúdu sa zmení magnetický tok. Zmena magnetického toku vytvorí indukované napätie u_i na indukčnosti. Indukované napätie pôsobí proti napájaciemu napätiu, znamená to že pri zapnutí sa prúd ustáli až po určitom čase.

Prvý obrázok ukazuje počiatočný stav pred zapnutím. Indukčnosť je skratovaná, preto je napätie na indukčnosti nulové. Na druhom obrázku obvod je zapnutý a prúd sa časom ustáli pretože zmena magnetického toku na indukčnosti zanikne.

Premenlivý prúd i na odpore vytvorí premenlivé napätie u_R. Pretože indukované napätie pôsobí opačne ako napájacie napätie, tak prúd sa ustáli až po určitom čase. Za ustálený považujeme vtedy keď meracie rístroje nezaznamenajú výchyľku. Na obrázku je pre ilustráciu označené indukované napätie na cievke u_L. Z toho si môžeme odvodiť vzorce

Pomer napätí odporom dostávame prúdy. Potrebujeme vyriešiť diferenciálne členy v rovnici a upraviť rovnicu tak aby sa dala integrovať

K druhému integrálu pripočítame integračnu konštantu k ako počiatočnú podmienku a konštantu prehodíme aby sme mohl dosadiť správne hodnoty

Počiatočná podmienka je stály prúd I. Konštantu musíme napísať ako logaritmus stálej hodnoty prúdu I

Z logaritmu môžeme odvodiť okamžitý prúd i pri skratovani obvodu, ktorý časom zanikne

Pri zapnutí obvodu premenlivý prúd sa časom ustáli a ostane stály prúd I. Vzorec je

Keďže čas potrebný na zmenu prúdu závisí na indukčnosti a odpore,tak pomer L/R je časová konštanta, ktorá má rozmer sekundy.

Opakom indukčnosti je kapacita. Odvodiť sa dá z elektrostatickej intenzity. Pri intenzite náboja 4πr² je plocha okolo náboja S. Keď máme 2 platne s plochou S, vzdialenosťou od seba d a izoláciou s permitivitou ϵ a pripojíme na platne jednosmerné napätie U tak z jednej platni sa elektróny presunú na druhú. Keď jednosmerný zdroj odpojíme napätie na platniach ostane. Elektrický náboj sa medzi platňami zachová. Z toho si môžeme odvodiť vzťah pre kapacitu

Hodnoty, permityvita ϵ plocha S a vzdialenosť d sú konštantné. Je to kapacita elektrického kondenzátora C. Z toho vzorca si môžeme odvodiť vzťahy medzi elektrickou kapacitou, napätím a elektrickým nábojom, podľa vzorca

Zo vzťahu pre kapacitu si môžeme odvodiť jednotku elektrickej kapacity Farad 1F. Má obratenú hodnotu odporu, čo je vodivosť. Jednotka vodivosti je Siemens 1S. Z toho vychádza hodnota pre Farad Siemens sekunda F=Ss

Z toho vzorca vyplýva, že čím je frekvencia vyššia tým je kapacitný odpor nižší. Znamená to že jednosmerný prúd cez kondenzátor nepretečie. Z toho vychádza vzorec pre kapacitný odpor X_C .

Pri pripojení striedavého napätia na kondenzátor sa dosky začnú nabíjať, napätie stúpa ale prúd klesá, pretože sa dosky nabijú. Keď bude klesať napätie tak najväčší rozdiel medzi napätím na kondenzatore bude keď bude napájacie napätie v nule. Preto pri kondenzatore predbieha napätie prúd. Pri indukčnosti je to naopak, pretože vzniká indukovane napätie ktoré pôsobí proti napájaciemu napätiu. Energiu elektrostatického poľa som už opísal v prvej časti.