aldebaran.pravda.sme

Minule som písal čo sú to vlastne derivácie, Spomenul som v tejto súvislosti aj integrály ako opak derivácie. Integrovaním derivovanej funkcie dostaneme pôvodnú funkciu. Integrál sa označuje pretiahnutým eskom, d je diferenciál, ten nám udáva ktorú hodnotu budeme integrovať. Niekedy má nezanedbateľný význam, napíšem niečo o tom v inom blogu z fyziky.  Základné vzorce pre integrály sú tieto

C je integračná konštanta, znamená to, že si ju môžeme podľa potreby pripočítať k hodnote integrácie. Prvých šesť integrálov sú tzv. neurčité integrály, posledný je určitý integrál. Pre pochopenie integrálov aj derivácii uvediem tri jednoduché príklady. Výpočet dĺžky, odvodenie povrchu plochy a objemu gule.

Integrálom najčastejšie počítame dĺžky krivky s. Pre názornosť dĺžku krivky si prisôsobíme tak, že ju nasekáme na malé kúsky Δs_i

Vzchádzame s toho, že krivka má určitú funkciu. Dĺžku Δs_i si vypočítame z  Pytagorovej vety, podľa vzorca

i je ita Δs_i, i=1, znamená, že sčítame všetky Δs_i pretože sú rovnaké. Sčítame všetky Δs_i podľa vzorca

i=1 znamená že všetky časti na osi x sú rovnaké. Čím je n väčšie tým je výsledok presnejší. Toto si môžeme prepísať do diferenciálnej formy.

z toho dostávame výsledok pre ds

na pravej strane rovnice si môžeme upraviť na

z toho dostávame výsledný integrál

Výpočet integrálu pod mocninou je sa nedá priamo vypočítať, preto tento integrál musíme prispôsobiť tak, aby sa dal vypočítať podľa základných vzorcov.  Funkciu pod odmocninou nahradíme tzv. substitúciou u podľa vzorca

diferenciál du odvodíme deriváciou f(x)

z toho vychádza vzorec

vložením za u a du dostaneme vzorec ktorý

Na ukážku vypočítam jednoduchý príklad hodnoty funkcie y=x^3/2

Počítame vzdialenosť a=x0, b=x1. Z toho môžeme napísať integrál

substitujeme podľa vzorcov

z toho dostaneme integrál

po dosadení hodnôt dostaneme výsledok tzv. primitívneho integrálu

po úprave dostaneme

výslednú dĺžku vypočítame tak, že vložíme za x hodnoty a odpočítame ich podľa vzorca

pre x =1 je vzorec

pre x =0 je vzorec

Vynásobením 4√4=8  dostaneme vzorec

Po vykrateni sme konečný vzorec

Niektoré krivky sa môžu vyjadriť pomocou parametrami a uhlom t a nejakou konštantou k. Parametre môžu byť

z toho diferenciál ds má vzorec

Parametrické rovnice pre oblúk na kružnici sú úplne jednoduché, ale keď konštanty pre sínus a kosínus nie sú rovnaké vtedy je integrál zložitý a nedá sa počítať podľa obyčajných vzorcov. Taký príklad je výpočet dĺžky elipsy.

Dole sú zakreslené rotačné telesá na ktorom zakreslený jeho rez. Teleso je súmerné tzn. že pozdĺžny rez telesa udáva funkciu krivky na povrchu telesa. Narezaním rotačného telesa na malé plátky o rovnakej šírke Δx bude mať každý plátok na povrchu dĺžku Δs_i. Vynásobením Δs_i funkciou krivky povrchu telesa f(x) a 2π dostaneme plochu plátku ΔS_i. Sčítaním jednotlivý plošiek ΔS_i na vzdialenosti osi x dostaneme približnú plochu rotačného telesa. Pre presný výpočet potrebujeme integrovať jednotlivé plôšky_.

Vynásobením elementárnych plošiek na polomeroch  f(x)ds_i ·2π dostaneme plochu elementarného plátku dS_i. integráciou dostaneme plochu rotačného telesa ktoré má určitú dĺžku. Integrujeme podľa vzorca

Podľa toho integrálu si môžeme odvodiť plochu gule. Predstavíme si ju ako rotujúcu polkružnicu. Polkružnia má rozpätie uhlov 0 až π. Rovnica kružnice sa dá určiť z obrázkov dole

diferenciál má vzorec

keď to vložíme do vzorca dostaneme integrál

úpravou sme získali vzorec

počítame ako určitý integrál podľa vzoru, kde

z toho dostávame výsledok

vložením dostaneme hodnotu 4πr²

Tak sme sa dopracovali k vzorcu pre povrch gule S_g =4πr²

podľa spodného obrázku môžeme odvodiť výpočet objemu rotačného telesa

Teleso si rozrežeme na malé válčeky s hrúbkou Δx_i. Polomer na válčeku je r_Δxi. Z toho vychádza vzorec pre ΔV_i

Z toho si môžeme odvodiť diferenciál dV_i

Z toho môžeme odvodiť integrál

Pretože počet válčekov je dvojnásobný pred integrálom bude 2π. Vložením hodnôt do integrálu dostaneme vzorec

Keď za x dosadíme r dostaneme vzorec

Vynásobením 2π dostaváme výsledný vzorec pre objem gule V_g =4/3πr³

Pochopiť integrály a derivácie sa dá čiastočne na jednoduchých príkladoch. Ešte napíšem niektoré príklady z fyziky kde použijem integrály a derivácie, preto som napísal tieto blogy.