aldebaran.pravda.sme

Pokračujem v mojich apolitických nezaujímavých blogoch o elektromagnetizme.,

So samostatných parciálnych rovníc nemôžeme nič vyrátať, ale môžeme si ich prispôsobiť pre konkrétne výpočty. Taký príklad je indukčnosť cievky alebo vodiča. Pomer magnetického toku Φ cievky, ktorý vyvolá stály prúd I, dostaneme rozmery cievky, dĺžka l, prierez S, počet závitov N a permeabilitu  µ . Pri prúde i, ktorý mení svoju veľkosť v závislosť na čase nastáva zmena magnetického toku. Nastane situácia keď každý závit bude indukovať napätie do druhého závitu tzn. že počet závitov sa znásobí z toho si môžeme odvodiť vzorec pre indukčnosť cievky L_C 

Aj vodič má svoju indukčnosť L_V. Ale odvodnenie výpočtu indukčnosti vodiča je komplikovanejšie. Môžeme si to odvodiť z výpočtu magnetického toku okolo vodiča. Indukciu okolo vodiča si môžeme predstaviť ako kruhovú siločiaru s polomerom r, ktorá má relatívnu permeabilitu µ_r. Keď spočítame , zintegrujeme všetky siločiary okolo vodiča, dostaneme magnetický tok Φ

Z výpočtu integrálu dostaneme rovnícu

Z tejto rovnice si môžeme odvodiť vzorec pre tok Φ

Pri zmene prúdu vo vodiči nastane podobná situácia ako pri cievke. Pomôžeme si predstavou, že vodiči sa nachádza vodič z najmenším možným polomerom. Indukcia bude mať polomer hrúbky vodiča. Súčet siločiar, ktorý sa indukuje do dĺžky vodiča l je dvojnásobný pretože si môžeme predstaviť, že siločiary kmitajú od stredu a od povrchu vodiča. Vo vzorci sa prúd vykrati, 2 vo vzorci vychádza komplikovaným odvodenim, ale pre jednoduchosť postačí aj úvaha. Podľa toho dostaneme vzorec

Po integrácii dostávame konečný výsledok pre indukčnosť vodiča L_V

Zo základného vzorca môžeme odvodiť rozmerový vzorec. Jednotka indukčnosti je Henri 1H. Z výpočtu vychádza rozmer H ohm sekunda Ωs. Ohm je jednotka elektrického odporu

Podľa predchádzajúceho rozmeroveho vzorca môžeme odvodiť indukčný odpor X_L vynasobenim indukčnosti L uhlovou frekvenciou ω podľa vzorca

Z toho vzorca vyplýva, že čím je frekvencia vyššia, tým je indukčný odpor väčší.

,Podľa indukčnosti môžeme odvodiť vzorec pre energiu magnetického poľa E_m. Indukované napätie U_i si môžeme odvodiť zo vzorca

Na obrázku je znázornený obvod s jednosmerným zdrojom napätia. U_em , em znamená elektromotorické, pretláča prúd I cez cievku, ktorá má svoju indukčnosť L a elektrický, ohmický odpor R. Prechodom prúdu I cez odpor R vznikajú tepelné straty na závitoch cievky. Pri zapnutí vypínača na indukčnosti cievky nastane veľká zmena prúdu, ktorá časom zanikne. Z toho si môžeme odvodiť vzorec

Integrovanim indukovaného napätia na čase dostávame energiu magnetického poľa podľa vzorca

Správnosť výpočtu si môžeme odvodiť z rozmerového vzorca

Jednotka energie je Joule 1J

V obvode kde je indukčnosť L zapojená do série s odporom R vzniká prechodový jav pri zapnutí obvodu aj pri skratovani obvodu. Je to spôsobené tým že zmenou prúdu sa zmení magnetický tok. Zmena magnetického toku vytvorí indukované napätie u_i na indukčnosti. Indukované napätie pôsobí proti napájaciemu napätiu, znamená to že pri zapnutí sa prúd ustáli až po určitom čase.

Prvý obrázok ukazuje počiatočný stav pred zapnutím. Indukčnosť je skratovaná, preto je napätie na indukčnosti nulové. Na druhom obrázku obvod je zapnutý a prúd sa časom ustáli pretože zmena magnetického toku na indukčnosti zanikne.

Premenlivý prúd i na odpore vytvorí premenlivé napätie u_R. Pretože indukované napätie pôsobí opačne ako napájacie napätie, tak prúd sa ustáli až po určitom čase. Za ustálený považujeme vtedy keď meracie rístroje nezaznamenajú výchyľku. Na obrázku je pre ilustráciu označené indukované napätie na cievke u_L. Z toho si môžeme odvodiť vzorce

Pomer napätí odporom dostávame prúdy. Potrebujeme vyriešiť diferenciálne členy v rovnici a upraviť rovnicu tak aby sa dala integrovať

K druhému integrálu pripočítame integračnu konštantu k ako počiatočnú podmienku a konštantu prehodíme aby sme mohl dosadiť správne hodnoty

Počiatočná podmienka je stály prúd I. Konštantu musíme napísať ako logaritmus stálej hodnoty prúdu I

Z logaritmu môžeme odvodiť okamžitý prúd i pri skratovani obvodu, ktorý časom zanikne

Pri zapnutí obvodu premenlivý prúd sa časom ustáli a ostane stály prúd I. Vzorec je

Keďže čas potrebný na zmenu prúdu závisí na indukčnosti a odpore,tak pomer L/R je časová konštanta, ktorá má rozmer sekundy.

Opakom indukčnosti je kapacita. Odvodiť sa dá z elektrostatickej intenzity. Pri intenzite náboja 4πr² je plocha okolo náboja S. Keď máme 2 platne s plochou S, vzdialenosťou od seba d a izoláciou s permitivitou ϵ a pripojíme na platne jednosmerné napätie U tak z jednej platni sa elektróny presunú na druhú. Keď jednosmerný zdroj odpojíme napätie na platniach ostane. Elektrický náboj sa medzi platňami zachová. Z toho si môžeme odvodiť vzťah pre kapacitu

Hodnoty, permityvita ϵ plocha S a vzdialenosť d sú konštantné. Je to kapacita elektrického kondenzátora C. Z toho vzorca si môžeme odvodiť vzťahy medzi elektrickou kapacitou, napätím a elektrickým nábojom, podľa vzorca

Zo vzťahu pre kapacitu si môžeme odvodiť jednotku elektrickej kapacity Farad 1F. Má obratenú hodnotu odporu, čo je vodivosť. Jednotka vodivosti je Siemens 1S. Z toho vychádza hodnota pre Farad Siemens sekunda F=Ss

Z toho vzorca vyplýva, že čím je frekvencia vyššia tým je kapacitný odpor nižší. Znamená to že jednosmerný prúd cez kondenzátor nepretečie. Z toho vychádza vzorec pre kapacitný odpor X_C .

Pri pripojení striedavého napätia na kondenzátor sa dosky začnú nabíjať, napätie stúpa ale prúd klesá, pretože sa dosky nabijú. Keď bude klesať napätie tak najväčší rozdiel medzi napätím na kondenzatore bude keď bude napájacie napätie v nule. Preto pri kondenzatore predbieha napätie prúd. Pri indukčnosti je to naopak, pretože vzniká indukovane napätie ktoré pôsobí proti napájaciemu napätiu. Energiu elektrostatického poľa som už opísal v prvej časti.