aldebaran.pravda.sme

Heisenbergova teória neurčitosti potrebuje trochu predstavivosti. V minulom blogu som písal o pohybe elektrónov v otómovom  orbitále. Opísal som ako matematicky vysvetlil de Broglie elektrónový orbitál ako vlnu. Heisenberg popisoval vonkajšie pôsobenie na elektrón. Vychádzal z fotoelektrického javu. Keď fotón vyrazí elektrón z hmoty, tak musí pôsobiť aj na pohybujúci elektrón. Keď fotón narazí do letiaceho elektrónu, zmení jeho polohu a tým pádom aj jeho hybnosť. Uvažoval, že medzi zmenou polohy  a zmenou hybnosti elektrónu, musí byť určitá matematická závislosť. Keďže elektrón je vlna aj častica, vysvetlil svoju  teóriu pomocou zákonov z optiky. Predstavil si mikroskop pod ktorým letí elektrón. dole je obrázokV momente keď bude elektrón e^– pod mikroskopom tak ožiaria ho vysokoenergetické fotóny. Fotóny zmenia hybnosť elektrónu a vychýlia ho z dráhy. Pretože elektrón je aj vlnenie, tak fotóny budú interferovať, rozptýlia sa do uhla ε, ako pri rozptylovej šošovke. Hybnosť elektrónu sa zmení na určitom zlomku dráhy Δx. Čím bude fotón energetickejší, tým pádom bude uhol ε väčší tzn. dá sa lepšie zmerať zmena polohy elektrónu Δx. Môžeme zmerať interferovanú vlnu λ a uhol ε.  Z toho môžeme odvodiť zmenu dráhy Δx

Zmenu polohy elektrónu môžeme považovať za odchýlku merania tzn. že polohu častice nemôžeme zmerať presne. Keďže poznáme zmenu polohy tak môžeme určiť aj zmenu hybnosti.

Z týchto nerovníc môžeme odvodiť vzťahy medzi Δx a Δp

Tieto nerovnice hovoria že nikdy nemôžeme presne zmerať polohu elektrónu pretože pri meraní sa mení ich hybnosť. Je to vysvetlenie dvojštrbinového efektu. Keď púšťali elektróny cez malé štrbiny tak vznikli na tienidle interferenčné obrazce. Vysvetlenie je, že pred štrbinou boli elektróny ale za štrbinou boli už fotóny. Je to dôsledkom toho, že keď prelietavali úzkou štrbinou, museli meniť svoju hybnosť. Táto teória vysvetľuje, prečo nemôžeme presne zmerať polohu elektrónu, pretože vždy je tam určitá odchýlka merania. Čím presnejšie chcem zmerať tým bude odchýlka väčšia. Je to geniálny úsudok, Heisenberg spojil časticu a vlnu  do jednej rovnice.

Túto rovnicu spresnil americký fyzik Earle Hesse Kennard. Elektrón pri náraze fotónu zmení aj energiu za určitú zmenu času. Z Heisenbergovej rovnice sa odchýlka energie na odchýlke času nedá odvodiť. To viedlo Kennarda k oprave Heisenbergovho vzorca. Zobral pre odvodenie zmenu kinetickej energie elektrónu, ktorá nastane pri náraze fotónu. Polohu pohybujúceho telesa vieme pomerne presne zmerať. Aby sme zmerali rýchlosť pohybujúceho telesa musíme poznať jeho dve polohy na dráhe. Z nameraných hodnôt zmeny dráhy Δx a zmeny času Δt  môžeme pomerne presne vypočítať priemernú rýchlosť v_p. Pokiaľ poznáme hmotnosť môžeme určiť priemernú hybnosť p_p a priemernú kinetickú energiu E_kp  Pri časticiach sa nedá poloha tak zmerať, pretože ich kinetická energia je o veľa rádov menšia ako kinetická energia telies a častice sú zároveň aj vlny.

Zmenu polohy častice Δx si môžeme rozpísať podľa vzorca

Pri náraze elektrónu nastáva zmena energie elektrónu. Vieme zmerať jeho interferovanú vlnu a určiť jej energiu E_ω . Zmenu energie si môžeme určiť podľa zmeny polohy Δx. Môže vychádzať z obehovej rýchlosti v_o elektrónu ktorý má polomer r a dobu obehu T. Z toho nám vyšla uhlová rýchlosť ω. Podľa toho môžeme určiť aj energiu vlnenia E_ω. Konštantu h musíme upraviť na redukovanú Planckovu konštantu ħ. Energiu vlnenia  E_ω

Energie elektrónu vodíka si môžeme určiť podľa uhlovej rýchlosti ω a polomeru r. Keď budeme kinetickú energiu uvažovať ako polovicu celkove energie, tak celkovú energia je hmotnosť krát rýchlosť na druhú. Podľa obehovej rýchlosti v_o môžeme odvodiť úmeru medzi celkovou energiou E a energiou vlnenia elektrónu E_ω .

Zmenu celkovej energie ΔE môžeme uvažovať ako kinetickú energiu z polomerom otáčania  Δx, ale uhlová rýchlosť sa nemení.  Preto zmenu energie vlnenia ΔE_ω musíme uvažovať ako polovicu E_ω. Z toho môžeme odvodiť  vzorec

pre hybnosť elektrónu vyjadrenú uhlovou rýchlosťou dostaneme vzorec

pre zmenu hybnosti dostaneme vzorec

Vynásobením rovnice hmotnosťou elektrónu m_e  získame vzorec

z toho vzorca sme odvodili zmenu hybnosti na druhú

odmocnením dostaneme zmenu hybnosti Δp

Pre zmenu polohy Δx si odvodíme rovnicu zo zmeny hybnosti Δp podľa vzorca

vložíme do vzorca pre hybnosť a vykrátení dostaneme vzorec pre x²

odmocnením dostaneme vzťah pre zmenu polohy Δx

Opravený Heisenbergov vzťah má tvar

Ale pri predstave ako vyzerá neurčitosť polohy častice, už začína Schrödingerova teória. Je to veľmi dobre znázornené na spodnom obrázku.

Časticu si musíme predstaviť ako vlnu, ktorá sa skladá z dvoch vĺn. Je to tzv. komplexná vlna. Má dve vlny, skutočná vlna, modrá a imaginárna vlna, zelená, ktoré sa pohybujú spoločne na osi x. Častica by sa mala presne nachádzať na skutočnej vlne. Imaginárna vlna sa vzďaľuje od skutočnej o neurčitosť Δx.  Neurčitosť polohy je označená žltou farbou.Na obrázku je vidieť že amplitúda nie je rovnaká ako pri rovinnej vlne.

Odvodenie výpočtov je dosť komplikované, ale v anglickej wikipedii som našiel jednoduché odvodenie, ktoré pri troche predstavivosti postačuje. Je to trochu náročnejšie na predstavu, ale pri trochu predstavivosti je možné to pochopiť.

Budem rád keď si to niekto aj prečíta.